四面体abcd,三角形ABC是正三角形,Ad=CD,求证AC⊥BD

=AC=1,BAC=90度BC=根号2设A点坐标为(0,0),B为(0,1),C为(1,0)角ACD=4560=105度D坐标为(1根号2*cos75度,根号2*sin75度)直线AD的斜率为根号2*

设A点为顶点吧,作AF垂直底面BCD交F点作FG垂直于BC边于点G连接AG因为FG垂直BC,AG垂直BC所以角AGF为二面角所以tan@=AF/FG因为cos@=1/2且@小于180度所以@=60度,

两个面垂直在ABC三角形中作出BE垂直于AC于E则有BE垂直于平面ACDBE=2分之根号3三角形面积ACD=4分之根号15再用体积公式算为8分之根号5要是计算不对见谅我都是口算的跟前没有笔但是算法对着

证明：（1）∵M，N分别是△ABC和△ACD的重心，∴AM：AE=AN：AC=2：3，∴MN∥EF，又E，F时BC，CD的中点，∴EF∥BD，∴MN∥BD，又MN⊄平面ABD，BD⊂平面ABD，∴MN

解,过点A作AE⊥平面BCD,由该四面体的性质可知,该点在DG的延长线上；AG=√3/2BC;BC=√2BD=2所以AG=√3/2*√2=√6/2在三角形AGD中,cosAGD=-√3/3；∠AGD+

三角形BCD内一点O为三角形BCD重心向量OB+OC+OD=0,向量3OA+AB+AC+AD=0,向量AO=1/3（AB+AC+AD）.向量AO=1/3（AB+AC+AD）是O为三角形BCD重心的充要

取AC棱中点E,连结BE、DE,M、N分别是三角形ABC,ACD的重心,故M、N必然分别在中线BE和DE上,在三角形MED中,根据重心的性质,∵ME/BE=1/3,EN/ED=1/3,∴ME/BE=E

作DE垂直于AC并交于E.因AB⊥BC,则DE⊥ABC,为四面体的高.且,AC=2,BC=1,有AB=3^(1/2),S（ABC）=3^(1/2)/2(1)在三角形ACD中,AD=2,DC=1,AC=

有这么一条重心的性质：在此题中AM=2MX,AN=2NY（X,Y分别是BC,CD的中点）于是由余弦定理：（在三角形XCY中XC=2.5；CY=4；∠C=60度）cos∠C=(2.5×2.5+4×4-X

证明：连接CM、CN并延长,分别交AB、AD于P、Q两点,连接PQ、MN,由于M为ΔABC的重心,则CM=2MP,AP=PB,同理CN=2NQ,AQ=QD,∴CN/NQ=CM/MP∴MN//PQ∴MN

设正△ABC边长为a,高为h,E到边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,连结EA,EB,EC因为S△ABC=S△EAB+S△EAC+S△EBC所以ah/2=ah1/2+ah2/2+ah3/2

取DC的中点为H,连接EH,PH,PE.知DC垂直于PE,DC垂直于EH,即DC垂直于平面PEH.(垂直于两相交直线,就垂直于它们决定的平面)从而知DC垂直于PE.(垂直于平面,就垂直于这平面上的任何

见下图

显然有sa垂直面sbc,则sa垂直bc.连接ah并延长交bc于d,则bc垂直ah,从而bc垂直面sah.则bc垂直sh.同理可得ab垂直sh,从而sh垂直面abc

因为是三角形三长相同,连接EA、EB、EC,将三角形分成三个小三角形,它们的面积之和等于三角形ABC面积.x=(3)/2.E到三边距离之和等于正三角形的高.同样用等体积法,自己算吧,我吐了,好难

 如图,∵N分别是△ACD的重心,∴AF、DE是中线,∴EF∥AD且EF=AD/2∴△ADN∽△FEN,∴EN/DN=EF/AD=1/2同理EM/BM=1/2,∴EN/ED=EM/EB=1/

设P在平面ABC射影为O,PA=PB=PC,PO=PO=PO,(公用边）,

作DE垂直于AC并交于E.因AB⊥BC,则DE⊥ABC,为四面体的高.且,AC=2,BC=1,有AB=3^(1/2),S（ABC）=3^(1/2)/2(1)在三角形ACD中,AD=2,DC=1,AC=

（1）自己画图,然后重心是三角形三边中线的交点,且为中线的三等分点,你取AC中点为P,则PG=1/3PB,PH=1/3PD,根据相似三角形,△PGH和△PBD相似,相似比为1：3,所以GH=1/3BD

设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是R,所以四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V四面体A-BCD=1／3(S1+S2+S3+S4)γ