已知双曲线的方程为X^2/4-Y^2=1,直线L通过其右焦点F2,且与双曲线的右支交于A、B两点,将A、B与双曲线的左焦

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/20 04:39:02

已知双曲线的方程为X^2/4-Y^2=1,直线L通过其右焦点F2,且与双曲线的右支交于A、B两点,将A、B与双曲线的左焦点连结起来,求|F1A|*|F1B|的最小值?

该题中,a=2,b=1,c=√5,e=√5/2
设A(x1,y1）,B（x2,y2）
由焦半径公式得|F1A|=a+ex1.|F1B|=a+ex2
则|F1A|*|F2B|=（a+ex1)(a+ex2)=a²+ae（x1+x2）+e²x1x2
=4+（√5）（x1+x2）+（5/4）x1x2
设过L的直线为y=kx+b,由于直线过（√5,0）,故b=-√5k
联立直线和椭圆的方程,化简得到：
x²（1-4k²）-8kbx-4b²-4=0
x1+x2=8kb/(1-4k²）
x1x2=(-4b²-4)/(1-4k²）
联立以下方程：
b=-√5k
x1+x2=8kb/(1-4k²）
x1x2=(-4b²-4)/(1-4k²）
|F1A|*|F1B|=4+（√5）（x1+x2）+（5/4）x1x2
化简整理得：
|F1A|*|F1B|=[（65k²+5）/（4k²-1）]+4
=(65/4)+[85/(16k²-4)]+4
=(65/4)+[85/(16k²-4)]+4
=(81/4)+[85/(16k²-4)]
设85/(16k²-4)=t
则t∈（0,+∞）
故当k存在时,|F1A|*|F1B|∈（81/4,+∞）
而当k值不存在时
AB⊥x轴,x1=x2=c
|F1A|=|F1B|=a+ec=2+(5/2)=9/2
|F1A|*|F1B|=81/4
综上所述,当AB与x轴垂直的时候,|F1A|*|F1B|取得最小值81/4
终于做完了.多谢你的提醒~我太粗心了,

已知双曲线的方程为X^2/4-Y^2=1,直线L通过其右焦点F2,且与双曲线的右支交于A、B两点,将A、B与双曲线的左焦已知双曲线x^2/64-y^2/36=1的左、右焦点分别为F1、F2,直线l过点F1,交双曲线的左支于A、B两点,且AB 一道双曲线的题目过双曲线3x^2-y^2=3的右焦点F2作倾斜角为30度的直线L与双曲线交于A,B.F1为双曲线的左焦点已知F1,F2分别是双曲线x^2/25-y^2/16=1的左,右焦点,过F2的直线交双曲线的右支于A、B两点,且AB的绝已知双曲线x^2/m-y^2/7=1 直线l过其左焦点F1 ,交双曲线左支于AB两点,且绝对值AB=4,F2为双曲线右焦已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1离心率为2 焦点到渐近线的距离√3 过右焦点F2的直线l交于双曲线A,B两点已知F1F2分别为双曲线x^2/a^2-y^2/b=1(a>0 b>0)的左,右焦点,过f1且垂直于x轴的直线与双曲线交已知F1、F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF 已知双曲线x平方-y平方=2的左右焦点为F1,F2,过F2的动直线与双曲线交与A,B两点经过双曲线x^2-(y^2)/2=1的右焦点F2作倾斜角为60度的直线交双曲线于A,B两点,求|AB| 已知F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点.若△ 已知双曲线x^2-y^2=2的右焦点为F过点F的动直线l与双曲线相交于A,B两点,点C的坐标为(1,0)