证明：如果n*n阶方阵A有个n个不同的特征值b1--bn,那么对应每个特征值bi,矩阵A-bi的秩为n-1

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/24 08:32:21

设特征值b1--bn对应的特征向量为 v1--vn.问题显然是对称的,不失一般性,考虑A-b1 .
显然,(A-b1)v1=Av1 - b1v1 = b1v1-b1v1=0,这说明 0 是 A-b1 的一个特征值.
而(A-b1)v2=Av2 - b1v2 = b2v2-b1v2 = (b2-b1)v2,这说明 b2-b1 是A-b1 的一个特征值,其对应特征向量为v2.
同理,b3-b1,b4-b1,.,bn-b1 都是A-b1 的特征值,对应特征向量分别为v3,v4,...,vn.
所以,A-b1 的所有特征值为0,b2-b1,...,bn-b1 .显然,除了0,其他的都不为0,因为b1--bn是各不相同的.这样A-b1 的秩就是 n-1.
同理,其他所有的A-bi的秩也为n-1 .
再问：谢谢，我想在你的回答基础上再说明清楚一些,另外再追问一些问题
再答：初等变换只不过是对行或者列做加和乘两种代数运算，这是不会改变最大线性不相关组的。假定你的最大线性不相关组是 v1，。。。，vk，即 a1v1+。。。+akvk=0，是不存在非0解的。初等变换只能是把 vi 变成 c*vi，或者 vi=vj+vm，或者交换 vi，vj，这三种操作，不论那一个都不可能改变以上方程“不存在非0解”这一代数性质。所以初等变换不改变秩。 "行的最大线性不相关组和列的最大线性不相关组的向量数量是相同的"是和“A^T 和 A 的秩相同”等价的。只证明一个就行了。这个有点忘了，我查了，最快的证明好像是： 1.显然，Ax=0 ==> A^T Ax =0 2. 若 A^T Ax =0, 则 x^TA^T Ax =0, 即 ||Ax||^2=0 所以，Ax=0。这样，就有 Ax=0 A^T Ax =0，即矩阵A 和 A^T A 是具有相同的列线性无关组的，所以，rank(A)=rank(A^T A)，但是，显然，rank(A^T A)

证明：如果n*n阶方阵A有个n个不同的特征值b1--bn,那么对应每个特征值bi,矩阵A-bi的秩为n-1 高等代数证明：A、B皆为n阶方阵,如果AB=BA,且A有n个不同的特征值,证明B相似于对角如果矩阵A有n个不同特征值,也就是特征多项式对一个特征值只有1次,那么A的伴随矩阵和A的特征向量之间设n阶方阵A的n个特征值互异,n阶方阵B与A有相同的特征值,证明：A与B是相似的? 矩阵A的秩=1,证明A特征值有n-1个0? 证明：若n阶方阵A有n个对应于特征值a且线性无关的特征向量,则A=aI 如何证明一个n阶矩阵有n个不同的特征值设A是n阶方阵,A有n个不同的特征值是A与对角相似的?条件... 设A,B均为n阶矩阵,且AB=BA,证明： 1）如果A有n个不同的特征值,则B相似于对角矩阵； n阶方阵A有n个不同特征值是A与对角阵相似的什么条件? 若n阶矩阵A有n个对应于特征值r的线性无关的特征向量,则A=? 如果n阶方阵A的n个特征值全为0,则A一定是零矩阵吗?为什么呢