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求证:任一n阶方阵可以表示成一个数量矩阵与一个迹为0的矩阵之和.

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/28 23:23:47
求证:任一n阶方阵可以表示成一个数量矩阵与一个迹为0的矩阵之和.
证明: 设 A=(aij) 是n阶方阵.
令 k = (a11+a22+...+ann)/n
则 (a11+a22+...+ann) - kn = 0.
令 B = A - kE
则 tr(B) = tr(A)-tr(kE) = (a11+a22+...+ann) - kn = 0.
而 A = (A-kE)+kE = B+kE.
所以 A 是一个数量矩阵与一个迹为0的矩阵之和.
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