已知数列an的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+···+an,A(n)=a2+a3···+an+1,C(n)=a3+

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/18 12:02:55

已知数列an的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+···+an,A(n)=a2+a3···+an+1,C(n)=a3+a4···+an+2(n=1,2···),若a1=1,a2=5,且对任意n∈正整数,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列an的通项公式

第二个A(n)应该是B(n)
（1）∵对任意n∈N*,三个数A（n）,B（n）,C（n）组成等差数列,
∴B（n）-A（n）=C（n）-B（n）,
即an+1-a1=an+2-a2,亦即an+2-an+1=a2-a1=4．
故数列{an}是首项为1,公差为4的等差数列,于是an=1+（n-1）×4=4n-3．
（2）证明：（必要性）：若数列{an}是公比为q的等比数列,对任意n∈N*,有an+1=anq．由an＞0知,A（n）,B（n）,C（n）均大于0,于是
B(n) :A(n)=(a2+a3+…+an+1 ):(a1+a2+…+an )
=q(a1+a2+…+an):a1+a2+…+an
=q,
C(n):B(n)
=(a3+a4+…+an+2):(a2+a3+…+an+1)
=q(a2+a3+…+an+1):a2+a3+…+an+1
=q,
即B(n):A(n)=C(n):B(n)=q,
∴三个数A（n）,B（n）,C（n）组成公比为q的等比数列；
（充分性）：若对任意n∈N*,三个数A（n）,B（n）,C（n）组成公比为q的等比数列,则
B（n）=qA（n）,C（n）=qB（n）,
于是C（n）-B（n）=q[B（n）-A（n）],即an+2-a2=q（an+1-a1）,亦即an+2-qan+1=a2-qa1．
由n=1时,B（1）=qA（1）,即a2=qa1,从而an+2-qan+1=0．
∵an＞0,
∴an+2:an+1=a2:a1=q．故数列{an}是首项为a1,公比为q的等比数列．
综上所述,数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*,三个数A（n）,B（n）,C（n）组成公比为q的等比数列
再问：还没学到等比数列，这个看不懂
再答：根据题意A（n），B（n），C（n）成等差数列
∴A（n）+C（n）=2B（n）
整理得an+2-an+1=a2-a1=-2+5=3
∴数列{an}是首项为-5，公差为3的等差数列
∴an=-5+3（n-1）=3n-8

已知数列an的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+···+an,A(n)=a2+a3···+an+1,C(n)=a3+ 数列{an}中,a1+a2+a3···+an=2n+1(n∈N※),求an 已知数列{an}满足a1*a2*a3···a(n-1)*an=n^2,则a10-a4= 已知数列{an}前n项的和Sn=n的平方+12n,求和a1-a2+a3-a4+…+(-1)的(n+1)次方·an 数列 an种,a1·a2·a3.·an=n²,求通项公式已知数列an的前n项和为Sn=n^2+2n,求和:1/(a1*a2)+1/(a2*a3)+...+1/(an*a(n+1 数列证明题：设数列{an}满足：A(n)=a1+a2+~+an,B(n)=a2+a3+~+a(n+1),C(n)=a3+ 数列不等式已知an=2^n-1 前一个n为下标求证：a1/a2+a2/a3+a3/a4+.+an/a(n+1) 最后一个已知数列{an}中满足a1=1,a(n+1)=2an+1 (n∈N*),证明a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1 给定数列an={a1,a2,a3.an},bn=a（n+1）-an 设数列an满足a1=a2=1,a3=2,且对正整数n都有an·an+1·an+2·an+3=an+an+1+an+2+a 已知：数列{an }满足a1+2a2+2^2·a3+``````+2^n-1·an=n/2(n属于正整数）