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(2012•江苏三模)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知∠ACB=90°,M为A1B与AB1的交点,N为棱B1

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2021/08/01 08:54:07
(2012•江苏三模)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知∠ACB=90°,M为A1B与AB1的交点,N为棱B1C1的中点.
(1)求证:MN∥平面AA1C1C;
(2)若AC=AA1,求证:MN⊥平面A1BC.
 (1)连接AC1
∵矩形AA1B1B中,M为A1B与AB1的交点,
∴M是AB1的中点,
又∵N为棱B1C1的中点,
∴△AB1C1中,MN是中位线,可得MN∥AC1,…(4分)
又∵AC1⊂平面AA1C1C,MN⊄平面AA1C1C,
∴MN∥平面AA1C1C.…(6分)
(2)∵矩形A1C1CA中,AC=AA1
∴四边形AA1C1C是正方形,可得AC1⊥A1C,
又∵直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,且BC⊂平面ABC,
∴CC1⊥BC.
∵∠ACB=90°,即AC⊥BC,
∴结合CC1∩AC=C,得BC⊥平面AA1C1C,
∵AC1⊆平面AA1C1C,∴BC⊥AC1,…(8分)
∵BC、A1C是平面A1BC内的相交直线,
∴AC1⊥平面A1BC
又∵MN∥AC1,∴MN⊥平面A1BC.…(14分)