作业帮行列式的计算和证明：ijk最好能提供多种解法
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/23 16:17:25
行列式的计算和证明：
ijk
最好能提供多种解法
ijk
最好能提供多种解法
1.
右边是Vandermonde行列式 = (a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)
用加边法考虑左边行列式
|1 a x^2 a^3|
|1 b x^2 b^3| = (x-a)(x-b)(x-c)(b-a)(c-a)(c-b)
|1 c x^2 c^3|
|1 x x^2 x^3|
左边行列式就是上行列式中 (-1)^(4+3)x^2 的系数,即
(-1)^(4+3)(-a-b-c)(b-a)(c-a)(c-b) = (a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b).
得证.
2.
c1+c2+c3+...+c(n+1) 所有列加到第1列
再按第1列展开,即得行列式 =
(-1)^(n+1+1) a1a2...an = (-1)^n a1a2...an.
有疑问请消息我或追问
再问： 第一道题目不是很明白你的思路？第一题可以用行列式的性质直接做？如何做？ 第二道题可以直接用行列式的性质做？如何做？
再答： 第一道题目是证明等式两边相等 方法: 利用范德蒙行列式的结果 参范德蒙行列式的结果及证明: http://hiphotos.baidu.com/lry31383/pic/item/d2974fed41fbe14ffcfa3cea.jpg 有范德蒙行列式的结果, 不必用性质去证 (范德蒙行列式就是用性质及归纳法计算出来的). 你若不习惯就等式两边直接用对角线法计算行列式, 第二道题先用行列式的性质, c1+c2+c3+...+c(n+1) 所有列加到第1列 再按第1列展开. 不过刚才忘乘(n+1)了. 行列式 = (-1)^(n+1+1) (n+1)a1a2...an = (-1)^n (n+1)a1a2...an. 只用性质做也行. 1. c1+c2+c3+...+c(n+1) 2. 最后一行依次与上一行交换, 直致交换到第1行, 共交换 n 次. 行列式变成 n+1 1 1 ... 1 0 a1 0 ... 0 0 -a2 a2 ... 0 ... ... 0 0 0 ... -an an 3. 第1列提出 (n+1) 4. ci - c1 , i=2,3,...,n+1 (所有列减第1列), 行列式变成 1 0 0 ... 0 0 0 a1 0 ... 0 0 0 -a2 a2 ... 0 0 ... ... 0 0 0 ... -an an 此为下三角行列式, 所以 行列式 = (-1)^n * (n+1)a1a2...an
再问： 第1题中：1.第三列为什么全是X的平方？ 2.左边行列式就是上行列式中 (-1)^(4+3)x^2 的系数,即 (-1)^(4+3)(-a-b-c)(b-a)(c-a)(c-b) = (a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b). ，这2句话没有看懂？？？？？
再答： 第3列写错了, 应该是 a^2,b^2,c^2,x^2 给你个纯用性质证明的哈: 用性质证明: |1 a a^3| r2-r1 |1 a a^3 | |1 b b^3| ======= |0 b-a (b-a)(b^2+ab+a^2)| |1 c c^3| r3-r1 |0 c-a (c-a)(c^2+ac+a^2)| |1 a a^3 | = (b-a)(c-a)|0 1 b^2+ab+a^2| |0 1 c^2+ac+a^2| r3-r2 |1 a a^3 | ======= |0 1 b^2+ab+a^2 | = (a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b) |0 0 (c-b)(a+b+c)| |1 a a^2| r2-r1 |1 a a^2 | (a+b+c)|1 b b^2| ======= (a+b+c)|0 b-a (b-a)(b+a)| |1 c c^2| r3-r1 |0 c-a (c-a)(c+a)| r2-r1 |1 a a^2| ======= (a+b+c)(b-a)(c-a)|0 1 b+a| r3-r1 |0 1 c+a| r3-r2 |1 a a^2| ======= (a+b+c)(b-a)(c-a)|0 1 b+a| |0 0 c-b| = (a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)
再问： 第二题题目说的是n阶行列式，但它有n+1行n+1列组成，应该是n+1阶行列式？是题目出错了？还是我对行列式的概念理解错误？
再答： 是题目有误 是 n+1 阶行列式
右边是Vandermonde行列式 = (a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)
用加边法考虑左边行列式
|1 a x^2 a^3|
|1 b x^2 b^3| = (x-a)(x-b)(x-c)(b-a)(c-a)(c-b)
|1 c x^2 c^3|
|1 x x^2 x^3|
左边行列式就是上行列式中 (-1)^(4+3)x^2 的系数,即
(-1)^(4+3)(-a-b-c)(b-a)(c-a)(c-b) = (a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b).
得证.
2.
c1+c2+c3+...+c(n+1) 所有列加到第1列
再按第1列展开,即得行列式 =
(-1)^(n+1+1) a1a2...an = (-1)^n a1a2...an.
有疑问请消息我或追问
再问： 第一道题目不是很明白你的思路？第一题可以用行列式的性质直接做？如何做？ 第二道题可以直接用行列式的性质做？如何做？
再答： 第一道题目是证明等式两边相等 方法: 利用范德蒙行列式的结果 参范德蒙行列式的结果及证明: http://hiphotos.baidu.com/lry31383/pic/item/d2974fed41fbe14ffcfa3cea.jpg 有范德蒙行列式的结果, 不必用性质去证 (范德蒙行列式就是用性质及归纳法计算出来的). 你若不习惯就等式两边直接用对角线法计算行列式, 第二道题先用行列式的性质, c1+c2+c3+...+c(n+1) 所有列加到第1列 再按第1列展开. 不过刚才忘乘(n+1)了. 行列式 = (-1)^(n+1+1) (n+1)a1a2...an = (-1)^n (n+1)a1a2...an. 只用性质做也行. 1. c1+c2+c3+...+c(n+1) 2. 最后一行依次与上一行交换, 直致交换到第1行, 共交换 n 次. 行列式变成 n+1 1 1 ... 1 0 a1 0 ... 0 0 -a2 a2 ... 0 ... ... 0 0 0 ... -an an 3. 第1列提出 (n+1) 4. ci - c1 , i=2,3,...,n+1 (所有列减第1列), 行列式变成 1 0 0 ... 0 0 0 a1 0 ... 0 0 0 -a2 a2 ... 0 0 ... ... 0 0 0 ... -an an 此为下三角行列式, 所以 行列式 = (-1)^n * (n+1)a1a2...an
再问： 第1题中：1.第三列为什么全是X的平方？ 2.左边行列式就是上行列式中 (-1)^(4+3)x^2 的系数,即 (-1)^(4+3)(-a-b-c)(b-a)(c-a)(c-b) = (a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b). ，这2句话没有看懂？？？？？
再答： 第3列写错了, 应该是 a^2,b^2,c^2,x^2 给你个纯用性质证明的哈: 用性质证明: |1 a a^3| r2-r1 |1 a a^3 | |1 b b^3| ======= |0 b-a (b-a)(b^2+ab+a^2)| |1 c c^3| r3-r1 |0 c-a (c-a)(c^2+ac+a^2)| |1 a a^3 | = (b-a)(c-a)|0 1 b^2+ab+a^2| |0 1 c^2+ac+a^2| r3-r2 |1 a a^3 | ======= |0 1 b^2+ab+a^2 | = (a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b) |0 0 (c-b)(a+b+c)| |1 a a^2| r2-r1 |1 a a^2 | (a+b+c)|1 b b^2| ======= (a+b+c)|0 b-a (b-a)(b+a)| |1 c c^2| r3-r1 |0 c-a (c-a)(c+a)| r2-r1 |1 a a^2| ======= (a+b+c)(b-a)(c-a)|0 1 b+a| r3-r1 |0 1 c+a| r3-r2 |1 a a^2| ======= (a+b+c)(b-a)(c-a)|0 1 b+a| |0 0 c-b| = (a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)
再问： 第二题题目说的是n阶行列式，但它有n+1行n+1列组成，应该是n+1阶行列式？是题目出错了？还是我对行列式的概念理解错误？
再答： 是题目有误 是 n+1 阶行列式