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附图在圆内接四边形ABCD中,从AB的中点P作PE垂直于BC,PF垂直于CD,PG垂直于DA(E,F,G分别为垂足).求

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 14:14:18
附图
在圆内接四边形ABCD中,从AB的中点P作PE垂直于BC,PF垂直于CD,PG垂直于DA(E,F,G分别为垂足).求证:S三角形PEF=S三角形PGF
图:http://hi.baidu.com/xyjiang/album/%C4%AC%C8%CF%CF%E0%B2%E1/0ccc0fb329117ba7d9335ab6.html
分析:
分别过点E、G作△PFE和△PFG公共边FP上的高,通过证明直角三角形GKP和BPE相似、AGP和PKE相似,通过AP=PB转换,证明到GK=HE,利用等底等高的三角形面积相等得证.
证明:
分别过点E、G作EH⊥PF、GK⊥PF,垂足分别为H、K.
PF⊥DC、PE⊥BC==>∠FPE+∠C=180度
在圆内接四边形ABCD中,∠A+∠C=180度
所以∠FPE=∠C
PG⊥AD,EH⊥PF==>∠PGA=∠EHP=90度
所以,△AGP∽△PHE
所以,GP/HE=AP/PE
同理可证:△GKP∽△PEB
所以,BP/PE=GP/GK
P是AB的中点==>AP=PB
所以GP/HE=GP/GK
所以HE=GK
因为S△PFG=1/2*PF*GK
S△PFE=1/2*PF*HE
所以S△PFG=S△PFE