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如何证明三角形重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/03/29 07:10:08
如何证明三角形重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1
已知:在△ABC中,AD、BE、CF分别是AB、BC、CA边上的中线
求证:(1)AD、BE、CF相交于一点O
(2)AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1
证明:设AD和BE相交于O'
延长O'D到G,使DG=O'D,连接BG
∵BD=DC,O'D=DG
∴BGCO'是平行四边形,∴BE‖CG
在△AGC中,
∵E是AC的中点,EO'‖CG,
∴EO'平分AG,即AO'=O'G
∴AO':O'D=2:1
同理,CF与AD的交点O"也满足AO":O"D=2:1
故O'与O"重合,设为O,即AD、BE、CF相交于一点O
同理可证BO:OE=CO:OF=2:1
证毕.