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如图，已知AB是圆O的直径，BC是圆O的弦，弦ED⊥AB于点F,交BC于点G，过点C作圆O的切线与ED的延长线交于点P．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/17 03:08:12

（1）求证：PC＝PG；
（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）在满足（2）的条件下，已知圆为O的半径为5,若点O到BC的距离为

时，求弦ED的长．

（1）证明：如图，连接OC，

∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC。∴∠OCG+∠PCG=90°。
∵ED⊥AB，∴∠B+∠BGF=90°。
∵OB=OC，∴∠B=∠OCG。∴∠PCG=∠BGF。
又∵∠BGF=∠PGC，∴∠PGC=∠PCG。
∴PC=PG。
（2）CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG² =BO?BF。理由如下：
如图，连接OG，
∵点G是BC的中点，∴OG⊥BC，BG=CG。∴∠OGB=90°。
∵∠OBG=∠GBF，∴Rt△BOG∽Rt△BGF。∴BG：BF=BO：BG。
∴BG² =BO?BF。∴CG² =BO?BF。
（3）如图，连接OE，
由（2）得BG⊥BC，∴OG=

。
在Rt△OBG中，OB=5，∴

。
由（2）得BG² =BO?BF，∴

。∴OF=1。
在Rt△OEF中，

。
∵AB⊥ED，∴EF=DF。
∴DE=2EF=

。

试题分析：（1）连接OC，根据切线的性质得OC⊥PC，则∠OCG+∠PCG=90°，由ED⊥AB得∠B+∠BGF=90°，而∠B=∠OCG，所以∠PCG=∠BGF，根据对顶角相等得∠BGF=∠PGC，于是∠PGC=∠PCG，所以PC=PG。
（2）连接OG，由点G是BC的中点，根据垂径定理的推论得OG⊥BC，BG=CG，易证得Rt△BOG∽Rt△BGF，则BG：BF=BO：BG，即BG2=BO?BF，把BG用CG代换得到CG² =BO?BF。
（3）连接OE，OG=OG=

，在Rt△OBG中，利用勾股定理计算出BG=2

，再利用BG2=BO?BF可计算出BF，从而得到OF=1，在Rt△OEF中，根据勾股定理计算出EF=2

，由于AB⊥ED，根据垂径定理可得EF=DF，于是有DE=2EF=4

。

如图，已知AB是圆O的直径，BC是圆O的弦，弦ED⊥AB于点F,交BC于点G，过点C作圆O的切线与ED的延长线交于点P．已知:如图,AB,AC分别是圆O的直径和弦,D为劣弧AC上一点,弦DE交AB于点H,交AC于点F,过点C的切线交ED的延已知,如图,AB是圆O的直径,C是圆O上一点,OD垂直BC于点D,过点C作圆O的切线,交OD的延长线于点E,连接BE 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC．如图,AB是圆O的直径,CB是圆O的弦,D是弧AC的中点,过D点作直线与BC垂直,交BC延长线于E点,且BA交延长线于F 已知:如图,AB为圆O的直径,AB⊥AC,BC交圆O于D,E是AC的中点,ED与AB的延长线相交于点F. 如图,已知,AB是圆O的直径,BC是圆O的切线,OC平行AD,过点D作DE⊥AB于点E,连接AC,与DE交于点P 如图,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E,连接AC,与DE交于点P, 如图,已知AB是⊙O的直径,过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于E,AD⊥EC于D且交⊙O于F．连接BC,CF,AC. 已知圆O的直径AB与弦CD相交于点E,CE=ED切线BF与弦AD的延长线交于点F, 1.如图,已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E,过点C作CG平行于AD交AB的延长线于点G,连接CO并延长交AD于点F, 如图,已知圆O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E点,过C点作CG‖AD,交AB的延长线与点G,连CO并延长交AD于点F,