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在直角三角形ABC 中,两直角边AC=B,BC=A,CD⊥AB于D,把三角形ABC 沿CD折成直二面角A-CD-B,则c

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 20:30:04
在直角三角形ABC 中,两直角边AC=B,BC=A,CD⊥AB于D,把三角形ABC 沿CD折成直二面角A-CD-B,则cos∠ACB
是填空题 ······
题目中描述的时候要注意,边长通常用小写字母表示,即AC=b,BA=a
分析:
折成二面角后,连接BA,∠ACB在△ABC中,已知两边长度,只要求出第三边即AB的长度,就可以使用余弦定理了.
cos∠ACB=(a²+b²-AB²)/(2ab)
AB²=AD²+BD²
转换为求折之前的直角三角形中,AD、BD的长度.
在折之前的△ABC中
∵Rt△ABC∽Rt△ACD (∠A是公共角)
∴AD:AC=AC:AB,
即 AD=AC²/AB
同理Rt△ABC∽Rt△BCD
得 BD=BC²/AB
则 AD²+BD²=(AC^4+BC^4)/AB^2=(a^4+b^4)/(a^2+b^2)
沿CD折起后
∵AD⊥CD,BD⊥CD,
∴ ∠ADB为A-CD-B的二面角,∴∠ADB=90°,连接AB
则:AB²=AD²+BD²=(a^4+b^4)/(a^2+b^2)
根据余弦定理有:
cos∠ACB=(a²+b²-AB²)/(2ab)=ab/(a²+b²)