如图,已知抛物线y=- 1 2 x2+x+4交x轴的正半轴于点A,交y轴于点B．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/19 11:43:27

如图,已知抛物线y=-1/2x的平方+x+4交x轴的正半轴于点A,交y轴于点B．
（1）求A、B两点的坐标,并求直线AB的解析式；
（2）设P（x,y）（x＞0）是直线y=x上的一点,Q是OP的中点（O是原点）,以PQ为对角线作正方形PEQF,若正方形PEQF与直线AB有公共点,求x的取值范围；
（3）在（2）的条件下,记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S,求S关于x的函数解析式,并探究S的最大值．

(1)令x=0,得y=4
即点B的坐标为(0,4)
令y=0,得(-1/2)x²+x+4=0
则x²-2x-8=0
∴x=-2或x=4
∴点A的坐标为(4,0)
直线AB的解析式为
(y-0)/(x-4)=(4-0)/(0-4)
∴y=-x+4
(2)由(1),知直线AB的解析式为y=-x+4
由y=-x+4与y=x联立,解得
其交点坐标为(2,2)
①当点P的坐标为(2,2)时,依题意可知点Q的坐标为(1,1)
正方形PEQF恰好在△OAB里面,此时正方形PEQF
与直线AB刚好有一公共点(2,2)
②又当点Q的坐标值越来越大时,正方形PEQF与直线AB恒有两个交点
③而当点Q的坐标为(2,2),即点P的坐标为(4,4)时,正方形PEQF
恰好在△OAB的外面,此时正方形PEQF刚好与直线AB有一公共点(2,2)
④当点Q的坐标值大于2时,正方形PEQF与直线AB恒不相交,没有公共点
综上所述,点P的横坐标x的取值范围为[2,4]
(3)∵Xq+|QE|=Xp=x
又Xq=x/2
∴|QE|=x/2
即正方形PEQF的边长为x/2
①当点E、F在直线AB上时,正方形PEQF刚好被直线AB平分,EF为正方形
PEQF的对角线
则Xq+|QE|/2=2
∴x/2+(1/2)*(x/2)=2
∴x=8/3
即正方形PEQF的边长为4/3
∴S=(1/2)*|QE|²=(1/2)×(4/3)²=8/9
②当2≤x