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急求“一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系(韦达定理)的综合运用”(例题)

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 04:29:30
急求“一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系(韦达定理)的综合运用”(例题)
求例题及解答,
一元二次方程根与系数关系
1、如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1、x2,那么x1+x2= ,x1•x2= .
2、已知x1、x2是方程2x2+3x-4=0的两个根,那么:x1+x2= ;x1•x2= ; ;x21+x22= ;(x1+1)(x2+1)= ;|x1-x2|= .
3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 .
4、如果关于x的一元二次方程x2+ x+a=0的一个根是1- ,那么另一个根是 ,a的值为 .
5、如果关于x的方程x2+6x+k=0的两根差为2,那么k= .
6、已知方程2x2+mx-4=0两根的绝对值相等,则m= .
7、一元二次方程px2+qx+r=0(p≠0)的两根为0和-1,则q∶p= .
8、已知方程x2-mx+2=0的两根互为相反数,则m= .
9、已知关于x的一元二次方程(a2-1)x2-(a+1)x+1=0两根互为倒数,则a= .
10、已知关于x的一元二次方程mx2-4x-6=0的两根为x1和x2,且x1+x2=-2,则m= ,(x1+x2) = .
11、已知方程3x2+x-1=0,要使方程两根的平方和为 ,那么常数项应改为 .
12、已知一元二次方程的两根之和为5,两根之积为6,则这个方程为 .
13、若α、β为实数且|α+β-3|+(2-αβ)2=0,则以α、β为根的一元二次方程为 .(其中二次项系数为1)
14、已知关于x的一元二次方程x2-2(m-1)x+m2=0.若方程的两根互为倒数,则m= ;若方程两根之和与两根积互为相反数,则m= .
15、已知方程x2+4x-2m=0的一个根α比另一个根β小4,则α= ;β= ;m= .
16、已知关于x的方程x2-3x+k=0的两根立方和为0,则k=
17、已知关于x的方程x2-3mx+2(m-1)=0的两根为x1、x2,且 ,则m= .
18、关于x的方程2x2-3x+m=0,当 时,方程有两个正数根;当m 时,方程有一个正根,一个负根;当m 时,方程有一个根为0.
19、若方程x2-4x+m=0与x2-x-2m=0有一个根相同,则m= .
20、求作一个方程,使它的两根分别是方程x2+3x-2=0两根的二倍,则所求的方程为 .
21、一元二次方程2x2-3x+1=0的两根与x2-3x+2=0的两根之间的关系是 .
22、已知方程5x2+mx-10=0的一根是-5,求方程的另一根及m的值.
23、已知2+ 是x2-4x+k=0的一根,求另一根和k的值.
24、证明:如果有理系数方程x2+px+q=0有一个根是形如A+ 的无理数(A、B均为有理数),
那么另一个根必是A- .
25、不解方程,判断下列方程根的符号,如果两根异号,试确定是正根还是负根的绝对值大?

26、已知x1和x2是方程2x2-3x-1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
x31x2+x1x32
27、已知x1和x2是方程2x2-3x-1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:

28、已知x1和x2是方程2x2-3x-1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
(x21-x22)2
29、已知x1和x2是方程2x2-3x-1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
x1-x2
30、已知x1和x2是方程2x2-3x-1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:

31、已知x1和x2是方程2x2-3x-1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
x51•x22+x21•x52
32、求一个一元二次方程,使它的两个根是2+ 和2- .
33、已知两数的和等于6,这两数的积是4,求这两数.
34、造一个方程,使它的根是方程3x2-7x+2=0的根;(1)大3;(2)2倍;(3)相反数;(4)倒数.
35、方程x2+3x+m=0中的m是什么数值时,方程的两个实数根满足:(1)一个根比另一个根大2;(2)一个根是另一个根的3倍;(3)两根差的平方是17.
36、已知关于x的方程2x2-(m-1)x+m+1=0的两根满足关系式x1-x2=1,求m的值及两个根.
37、α、β是关于x的方程4x2-4mx+m2+4m=0的两个实根,并且满足 ,求m的值.
38、已知一元二次方程8x2-(2m+1)x+m-7=0,根据下列条件,分别求出m的值:
(1)两根互为倒数;
(2)两根互为相反数;
(3)有一根为零;
(4)有一根为1;
(5)两根的平方和为 .
39、已知方程x2+mx+4=0和x2-(m-2)x-16=0有一个相同的根,求m的值及这个相同的根.
40、已知关于x的二次方程x2-2(a-2)x+a2-5=0有实数根,且两根之积等于两根之和的2倍,
求a的值.
41、已知方程x2+bx+c=0有两个不相等的正实根,两根之差等于3,两根的平方和等于29,求b、c的值.
42、设:3a2-6a-11=0,3b2-6b-11=0且a≠b,求a4-b4的值.
43、试确定使x2+(a-b)x+a=0的根同时为整数的整数a的值.
44、已知一元二次方程(2k-3)x2+4kx+2k-5=0,且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长,求
当k取何整数时,方程有两个整数根.
45、已知:α、β是关于x的方程x2+(m-2)x+1=0的两根,求(1+mα+α2)(1+mβ+β2)的值.
46、已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根,x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根,求常数p、q的值.,
47、已知x1、x2是关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实数根;y1、y2是关于y的方程y2+5my+7=0的两个实数根,且x1-y1=2,x2-y2=2,求m、n的值.
48、关于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实根,x2+2(a+m)x+2a-m2+6m-4=0有大于0且小于2的根.求a的整数值.
49、关于x的一元二次方程3x2-(4m2-1)x+m(m+2)=0的两实根之和等于两个实根的倒数和,求m的值.
50、已知:α、β是关于x的二次方程:(m-2)x2+2(m-4)x+m-4=0的两个不等实根.
(1)若m为正整数时,求此方程两个实根的平方和的值;
(2)若α2+β2=6时,求m的值.
51、已知关于x的方程mx2-nx+2=0两根相等,方程x2-4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍.
求证:方程x2-(k+n)x+(k-m)=0一定有实数根.
52、关于x的方程 =0,其中m、n分别是一个等腰三角形的腰长和底边长.
(1)求证:这个方程有两个不相等的实根;
(2)若方程两实根之差的绝对值是8,等腰三角形的面积是12,求这个三角形的周长.
53、已知关于x的一元二次方程x2+2x+p2=0有两个实根x1和x2(x1≠x2),在数轴上,
表示x2的点在表示x1的点的右边,且相距p+1,求p的值.
54、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为α、β,且两个关于x的方程x2+(α+1)x+β2=0与x2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根,求a、b、c的关系式.
55、如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β,那么(α-1)2+(β-1)2的最小值是多少?
56、已知方程2x2-5mx+3n=0的两根之比为2∶3,方程x2-2nx+8m=0的两根相等(mn≠0).求
证:对任意实数k,方程mx2+(n+k-1)x+k+1=0恒有实数根.
57、(1)方程x2-3x+m=0的一个根是 ,则另一个根是 .
(2)若关于y的方程y2-my+n=0的两个根中只有一个根为0,那么m,n应满足 .
58、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
x2+3x+1=0;
59、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
3x2-2x-1=0;
60、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
-2x2+3=0;
61、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
2x2+5x=0.
62、已知关于x的方程2x2+5x=m的一个根是-2,求它的另一个根及m的值.
63、已知关于x的方程3x2-1=tx的一个根是-2,求它的另一个根及t的值.
64、设x1,x2是方程3x2-2x-2=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
(1)(x1-4)(x2-4);
(2)x13x24+x14x23;
(3) ;
(4)x13+x23.
65、设x1,x2是方程2x2-4x+1=0的两个根,求|x1-x2|的值.
66、已知方程x2+mx+12=0的两实根是x1和x2,方程x2-mx+n=0的两实根是x1+7和x2+7, 求m和n的值.
67、以2,-3为根的一元二次方程是 ( )
A.x2+x+6=0 B.x2+x-6=0
C.x2-x+6=0 D.x2-x-6=0
68、以3,-1为根,且二次项系数为3的一元二次方程是 ( )
A.3x2-2x+3=0 B.3x2+2x-3=0
C.3x2-6x-9=0 D.3x2+6x-9=0
69、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是 ( )
A.x2+2x-3=0 B.x2-2x+3=0
C.x2+2x+3=0 D.x2-2x-3=0
70、以-3,-2为根的一元二次方程为 ,
以 , 为根的一元二次方程为 ,
以5,-5为根的一元二次方程为 ,
以4, 为根的一元二次方程为 .
71、已知两数之和为-7,两数之积为12,求这两个数.
72、已知方程2x2-3x-3=0的两个根分别为a,b,利用根与系数的关系,求一个一元二次方程 ,使它的两个根分别是:
(1)a+1.b+1
(2)
73、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm,面积为 cm2,求这个直角三角形斜边的长 .
74、在解方程x2+px+q=0时,小张看错了p,解得方程的根为1与-3;小王看错了q,解得方程的根为4与-2.这个方程的根应该是什么?
75、关于x的方程x2-ax-3=0有一个根是1,则a= ,另一个根是 .
76、若分式 的值为0,则x的值为 ( )
A.-1 B.3 C.-1或3 D.-3或1
77、若关于y的一元二次方程y2+my+n=0的两个实数根互为相反数,则 ( )
A.m=0且n≥0 B.n=0且m≥0C.m=0且n≤0 D.n=0且m≤0
78、已知x1,x2是方程2x2+3x-1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
(1)(2x1-3)(2x2-3);
(2)x13x2+x1x23.
79、已知a2=1-a,b2=1-b,且a≠b,求(a-1)(b-1)的值.
80、如果x=1是方程2x2-3mx+1=0的一个根,则m= ,另一个根为 .
81、已知m2+m-4=0, ,m,n为实数,且 ,则 = .
82、两根为3和-5的一元二次方程是 ( )
A.x2-2x-15=0 B.x2-2x+15=0
C.x2+2x-15=0 D.x2+2x+15=0
83、.设x1,x2是方程2x2-2x-1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
(1)(x12+2)(x22+2);
(2)(2x1+1)(2x2+1);
(3)(x1-x2)2.
84、.已知m,n是一元二次方程x2-2x-5=0的两个实数根,求2m2+3n2+2m的值.
85、已知方程x2+5x-7=0,不解方程,求作一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方 程的两个根的负倒数.
86、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之比为2∶1,求证:2b2=9ac.
87、.已知关于x的一元二次方程x2+mx+12=0的两根之差为11,求m的值.
88、已知关于y的方程y2-2ay-2a-4=0.(1)证明:不论a取何值,这个方程总有两个不相等的 实数根;(2)a为何值时,方程的两根之差的平方等于16?
89、已知一元二次方程x2-10x+21+a=0.(1)当a为何值时,方程有一正、一负两个根?(2)此 方程会有两个负根吗?为什么?
90、已知关于x的方程x2-(2a-1)x+4(a-1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长,求这个直角三角形的面积.
91、已知方程x2+ax+b=0的两根为x1,x2,且4x1+x2=0,又知根的判别式 =25,求a,b 的值.
92、已知一元二次方程8y2-(m+1)y+m-5=0.(1)m为何值时,方程的一个根为零?(2)m为何值时 ,方程的两个根互为相反数?(3)证明:不存在实数m,使方程的两个相互为倒数.
93、当m为何值时,方程3x2+2x+m-8=0:(1)有两个大于-2的根?(2)有一个根大于-2,另一个 根小于-2?
94、已知2s2+4s-7=0,7t2-4t-2=0,s,t为实数,且st≠1.求下列各式的值:
(1) ;;
(2) .
95、已知x1,x2是一元二次方程x2+ x+n=0的两个实数根,且x12+x22+(x1+x2)2=3, ,求m和n的值.