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(2014•泉州一模)在如图所示的圆柱OO1中,过轴OO1作截面ABCD.已知PQ是圆O异于BC的直径.

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2020/07/07 14:12:33
(2014•泉州一模)在如图所示的圆柱OO1中,过轴OO1作截面ABCD.已知PQ是圆O异于BC的直径.
(Ⅰ)求证:O1B∥平面DPQ;
(Ⅱ)用平面DPQ截圆柱OO1的侧面可得到半个椭圆,该半椭圆所在椭圆以PQ为短轴,OD为长半轴,若PQ=2,且椭圆的离心率为
3
2
(Ⅰ)连结DO,由题意可得,
O1D∥BO,且O1D=BO,∴四边形O1BOD为平行四边形,
∴O1B∥DO,
又∵O1B⊄平面DPQ,
DO⊂平面DPQ,
∴O1B∥平面DPQ.
(Ⅱ)设椭圆的长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,
∵椭圆的离心率为

3
2.

c
a=

3
2∵a2=b2+c2=b2+
3
4a2,

b
a=
1
2
∵a=OD,b=OQ,∴
OQ
OD=
1
2,
∵直径PQ=2∴OC=OQ=1,∴OD=2,
在Rt△DCO中,可求得母线DC=
3,
即圆柱OO1的高h=
3,
因此,圆柱OO1的体积V=Sh=
3π.