在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/17 01:33:36

在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁…按这样的规律进行下去，第2011个正方形的面积为 ___ ．

如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，
∴∠ABA₁=90°，∠DAO+∠BAA₁=180°-90°=90°，
又∵∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
在△AOD和A₁BA中，

∠AOD=∠ABA1=90°
∠ADO=∠BAA1，
∴△AOD∽△A₁BA，
∴
OD
AO=
AB
A1B=2，
∴BC=2A₁B，
∴A₁C=
3
2BC，
以此类推A₂C₁=
3
2A₁C，
A₃C₂=
3
2A₂C₁，
即后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的
3
2倍，
∴第2011个正方形的边长为（
3
2）²⁰¹⁰BC，
∵A的坐标为（1，0），D点坐标为（0，2），
∴BC=AD=
12+22=
5，
∴第2011个正方形的面积为[（
3
2）²⁰¹⁰BC]²=5（
3
2）⁴⁰²⁰．
故答案为：5（
3
2）⁴⁰²⁰．