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已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1.一:若xf'=(x+1)=0

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2020/06/01 16:12:02
已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1.一:若xf'=(x+1)=0
要有计算过程
已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1.一:若xf'=(x+1)=0
∵x≥e,∴x-1>0,
对所有的x∈[e,+ ∞)都有xf(x) ≥a(x-1)成立,
即要使a≤xf(x)/(x-1)对所有的x∈[e,+ ∞)都成立.
也就是要使a≤xf(x)/(x-1)在x∈[e,+ ∞)上的最小值.
设y=xlnx/(x-1),x∈[e,+ ∞)
对y求导,得y'=(x-lnx-1)/(x-1)²
设g(x)=x-lnx-1
对g(x)求导,得g'(x)=1-1/x
∵x≥e,∴g'(x)=1-1/x≥1-1/e>0,即g(x)是增函数
∴g(x)≥e-lne-1=e-2>0
∴y'=(x-lnx-1)/(x-1)²>0
∴y=xlnx/(x-1),在x∈[e,+ ∞)上是增函数
即有y=xlnx/(x-1)≥elne(e-1)=e/(e-1)
即xf(x)/(x-1)在x∈[e,+ ∞)上的最小值是e/(e-1)
∴a≥e/(e-1)