椭圆中心在原点处,焦点在坐标轴上,Y=X+1与园交与P、Q且OP垂直于OQ.PQ＝2分之根下10,求椭圆方程

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/20 01:41:25

PQ=2/√10
y=x+1
设椭圆方程：x^2/a^2+y^2/b^2=1,y=x+1代入椭圆方程,得
b^2*x^2+a^2*(x+1)^2=a^2*b^2
(a^2+b^2)x^2+2a^2*x+a^2-a^2*b^2=0
y=x+1与该椭圆相交于P,Q,则
xP+xQ=-2a^2/(a^2+b^2)
xP*xQ=(a^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)
(yP-yQ)^2=(xP-xQ)^2=(xP+xQ)^2-4xP*xQ=4(ab)^2*(a^2+b^2-1)/(a^2+b^2)^2
(xP-xQ)^2+(yP-yQ)^2=PQ^2
2*4(ab)^2*(a^2+b^2-1)/(a^2+b^2)^2=(2/√10)^2=2/5
20(ab)^2*(a^2+b^2-1)=(a^2+b^2)^2.(1)
OP⊥OQ
(yP/xP)*(yQ/xQ)=-1
yP*yQ=-xP*xQ
yP=xP+1,yQ=xQ+1
yP*yQ=(xP+1)*(xQ+1)
-xP*xQ=(xP+1)*(xQ+1)
2xP*xQ+(xP+xQ)+1=0
2(a^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)-2a^2/(a^2+b^2)+1=0
a^2+b^2-2a^2*b^2=0
b^2=a^2/(2a^2-1).(2)
解方程组（1）、（2）,得
a^2、b^2的值
即可得椭圆方程:
但好象题目给出的条件不对
PQ=√10,也不对
2*4(ab)^2*(a^2+b^2-1)/(a^2+b^2)^2=（√10)^2=10
20(ab)^2*(a^2+b^2-1)=(a^2+b^2)^2.(1)
b^2=a^2/(2a^2-1).(2)
解方程组（1）、（2）,得
a^2=1/3
b^2=-1
PQ=√10/2
2*4(ab)^2*(a^2+b^2-1)/(a^2+b^2)^2=（√10/2）^2=5/4.(1)
b^2=a^2/(2a^2-1).(2)
a^2=2,2/3
b^2=2/3,2
可知应该是PQ=√10/2
椭圆方程有两个,即:
x^2/2+y^2/(2/3)=1
或者x^2/(2/3)+y^2/2=1