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谁能告诉我一下函数奇偶性的问题怎么做啊?最好举例!简单的难的都要几个加详解!谢了!

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2022/08/19 12:44:45
谁能告诉我一下函数奇偶性的问题怎么做啊?最好举例!简单的难的都要几个加详解!谢了!
判断函数的奇偶性的步骤是:第一步,判断函数的定义域是否关于原点对称,则函数必是非奇非偶函数;第二步,若函数的定义域是失于原点对称,则再根据奇、偶函数的定义和性质等来判断函数的奇偶性.
函数的奇偶性的判断方法主要有以下几种:
1、直接判断法:包括判断定义域和利用奇、偶函数的定义来判断.
1) 如果定义域不关于原点对称,则此函数是非奇非偶函数.
例:判断函数f(x)=3x(x∈(0,+∞))的奇偶性.
分析:因为f(x)的定义域是(0,+∞)不关于原点对称,所以此函数是非奇非偶函数.
2) 如果定义域关于原点对称的条件成立,则再直接验证是否有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x),从而判断函数的奇偶性.
例:判断函数f(x)=x-1的奇偶性.
分析:因为f(x)=x-1的定义域是R,关于原点对称,且f(-x)=-x+1≠f(x),f(-x)≠-f(x).所以,它既不是奇函数也不是偶函数.
2、间接判断法:
1) 间接利用定义判断:奇、偶函数的定义表明,在定义域关于原点对称的条件下,若⑴f(x)+f(-x)=0或f(x)-f(-x)=2f(x),则f(x)是奇函数;⑵f(x)+f(-x)=2f(x)或f(x)-f(-x)=0,则f(x)是偶函数⑶f(x)×f(-x)=-f2(x)或f(x)/f(-x)=-1,则f(x)是奇函数,⑷f(x)×f(-x)=f^2(x)或f(x)/f(-x)=1是偶函数.
2) 利用奇函数的几何性质判断:如果一个函数A的图象关于原点成中心对称图形,那么f(x)必是奇函数;如果一个函数f(x)的图象关于y轴成轴对称图形,那么f(x)必是偶函数;如果一个函数f(x)的图象既不关于原点成中心对称又不关于y轴对称,那么函数f(x)是非奇非偶函数.
3) 利用部偶函数的代数性质判断:把一个函数式分解成几个有公共定义域且可判断奇偶性的函数的和、差、积、商,再利用“和、差、积、商”的奇偶性进行判断.
例:判断函数F(x)=sinx+cosx的奇偶性.
分析:令f(x)=sinx,g(x)=cosx.
因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,f(x)+g(x)是非奇非偶函数,所以F(x) 是非奇非偶函数.
又例如:判断函数F(x)=sinx×cosx的奇偶性.
分析:令f(x)=sinx,g(x)=cosx.
因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,f(x)×g(x)是奇函数.所以F(x)是奇函数.
函数奇偶性的应用:
1、有利于画出整个定义域中的图象.
2、有利于判断函数的单调性(或比较函数值的大小).
例:已知f(x)是奇函数,且f(-5)=4,f(π)= -1,比较f(5)与f(π)的大小.
分析:由f(x)是奇函数得:f(5)= -f(-5)= -4,f(-π)=-f(π)=1所以 f(5)