数学证明题,计算题,关于裴蜀定理.

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/20 13:31:36

数学证明题,计算题,关于裴蜀定理.
证明：n为正奇数时,a^n-b^n=(a-b)【a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+……+ab^(n-2)+b^(n-1)】(裴蜀定理）.并据此
1.求证：1+x+x^2…x^(n-1)=(1-x^n)/1-x (x≠1）
2.计算：1+2+4+8+…+2^11

1、用数学归纳法：当n=1时,1+x+x^2…x^(n-1)=(1-x^n)/1-x (x≠1）化为1=（1-x）/(1-x)成立；
当k=n-1时,1+x+x^2…x^(n-2)=(1-x^（n-1）)/（1-x） (x≠1）成立
当k=n时,1+x+x^2…x^(n-1)=(1-x^（n-1）)/（1-x）+x^(n-1)=(1-x^（n-1）+x^(n-1)-x^n)/（1-x）=(1-x^n)/（1-x）；
故原式可证；
2、1+2+4+8+……+2^11=1+2+2^2+2^3+……+2^（12-1）=（1-2^12）/（1-2）=2^12-1
再问：当k=n时，1+x+x^2…x^(n-1)=(1-x^（n-1）)/（1-x）+x^(n-1)=(1-x^（n-1）+x^(n-1)-x^n)/（1-x）=(1-x^n)/（1-x）；这个没有看懂啊。。能不能讲一下？
再答： k=n时，我们前面已经设当k=n-1时，1+x+x^2…x^(n-2)=(1-x^（n-1）)/（1-x） (x≠1）成立故1+x+x^2…x^(n-1)=1+x+x^2…x^(n-2）+x^（n-1）带入1+x+x^2…x^(n-2)=(1-x^（n-1）)/（1-x）转换的1+x+x^2…x^(n-1)=)=(1-x^（n-1）)/（1-x）+x^(n-1),然后化简得到（1-x^（n-1）+x^(n-1)-x^n)/（1-x）=(1-x^n)/（1-x）；不懂再问哈

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