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几道高二数学题(柯西不等式)

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 21:28:03
几道高二数学题(柯西不等式)
1.已知正数x,y,z满足x+y+z=1,求4^x+4^y+4^(z^2)的最小值
2.已知正实数a,b,c满足a+b+c=1
(1)若根号(a+1/2)+根号(b+1/3)+根号(c+1/4)=5/2,求a,b,c的值
(2)求(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2的最小值
3.设x>0,y>0,z>0,且x^2+y^2+z^2=1
(1)求证(x^2)/(1+9yz)+(y^2)/(1+9xz)+(z^2)/(1+9xy)≥1/4
(2)yz/x+xz/y+xy/z的最小值
4.设正数x,y,z满足3x+4y+5z=1
(1)求证:x^2+y^2+z^2≥1/50
(2)求1/(x+y)+1/(y+z)+1/(z+x)的最小值
第一题
4^X+4^Y+4^(Z^2)=4^((x+y+z-z+z^2)=4^((x+y+z)+z^2-z)=4^(1+z^2-z)
因为4^x为单调递增函数,当z=1/2时,
1+z^2-z有最小值3/4,即原函数有最小值4^(3/4)
第三题
证明:由柯西不等式:
[(1+9xy)+(1+9yz)+(1+9zx)][x^2/(1+9xy)+y^2/(1+9yz)+z^2/(1+9zx)]>=(x+y+z)^2
上式也即x^2/(1+9xy)+y^2/(1+9yz)+z^2/(1+9zx)]>=(x+y+z)^2/[3+9(xy+yz+zx)]
注意到:因为x^2+y^2+z^2=1,所以(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=1+2(xy+yz+zx)
于是x^2/(1+9xy)+y^2/(1+9yz)+z^2/(1+9zx)]>=[1+2(xy+yz+zx)]/[3+9(xy+yz+zx)]
只要证明[1+2(xy+yz+zx)]/[3+9(xy+yz+zx)]>=1/4即可
化简后上式等价于:xy+yz+zx=0
k^>=4[m+1/m-m/(m^+1)]m/(m^+1)
k^>=4(m^4+m^+1)/(m^+1)^
k^>=4[3/4(m^+1)^+1/4(m^-1)^]/(m^+1)^
k^>=3+[(m^-1)/(m^+1)]^
k^≥3
k≥根3或k≤-根3
但由于k 为正实数,所以k≥3即
yz/x+xz/y+xy/z≥根3
第四题
(1/50)(x^2+y^2+z^2)(3^2+4^2+5^2)≥(1/50)(3x+4y+5z)^2=1/50
[1/(x+y)+1/(y+z)+1/(z+x)]*[(x+y)+(3y+3z)+(2z+2x)]
≥(1+√3+√2)^2 柯西不等式:(a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+f^2)≥(ad+be+cf)^2
打了很多字```望采纳```望加分```第二题不会做```努力了`
再问: 为什么这里:4^X+4^Y+4^(Z^2)=4^((x+y+z-z+z^2)=4^((x+y+z)+z^2-z)=4^(1+z^2-z)会直接变成这样啊?不懂
再答: 其实我也不会`````` 均值不等式不可以么? 4^x+4^y+4^(z^2)≧3三次根号4^(x+y+z^2)① 上式中x+y+z^2=z^2-z+1,当z=1/2时取得最小值3/4 满足①式需要4^x=4^y=4^z^2 即x=y=z^2,此时求得x=1/4,y=1/4,z=1/2满足题意 最小值为3√2 上面那个好像看错了``````````` 我看到z^2之后才知道````我只会这样了 望采纳```望加分``````