作业帮用解析法如何证明余弦定理?
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/19 16:45:07
用解析法如何证明余弦定理?
证明余弦定理
师：在引入过程中,我们不仅找到了斜三角形的边角关系,而且还给出了证明,这个证明是依据分类讨论的方法,把斜三角形化归为两个直角三角形的和差,再利用勾股定理和锐角三角函数证明的.这是证明余弦定理的一个好方法,但比较麻烦.现在我们已学完了三角函数,无论∠a是锐角、直角或钝角,我们都有统一的定义,借用三角函数和两定点间的距离来证明余弦定理,我们就可避开分类讨论.
我们仍就以∠C为主进行证明.
我们把顶点C置于原点,CA落在x轴的正半轴上,由于△ABC的AC=b,CB=a,AB=c,则A,B,C点的坐分别为A(b,0),B(acos C,asin C),C(0,0).
请同们分析B点坐标是怎样得来的.
生：∠ACB=∠C,CB为∠ACB的终边,B为CB上一点,设B的坐标为(x,y),则sinC= =,cos C==所以B点坐标x=acosC,y=asinC.
师：回答很准确,A,B两点间的距离如何求?
生：｜AB｜2=(acosC-b)2+(asinC-0)2
=a2cos2C-2abcosC+b2-a2sin2C
=a2+b2-2abcos C,
即c2=a2+b2-2abcos C.
师：大家请看,我们这里也导出了余弦定理,这个证明方法是解析法.这种方法以后还要详细学习.
余弦定理用语言可以这样叙述,三角形一边的平方等于另两边的平方和再减去这两边与夹角余弦的乘积的2倍,即：
a2=b2+c2-2bccos A.
c2=a2+b2-2abcos C.
b2=a2+c2-2accos B.
师：在引入过程中,我们不仅找到了斜三角形的边角关系,而且还给出了证明,这个证明是依据分类讨论的方法,把斜三角形化归为两个直角三角形的和差,再利用勾股定理和锐角三角函数证明的.这是证明余弦定理的一个好方法,但比较麻烦.现在我们已学完了三角函数,无论∠a是锐角、直角或钝角,我们都有统一的定义,借用三角函数和两定点间的距离来证明余弦定理,我们就可避开分类讨论.
我们仍就以∠C为主进行证明.
我们把顶点C置于原点,CA落在x轴的正半轴上,由于△ABC的AC=b,CB=a,AB=c,则A,B,C点的坐分别为A(b,0),B(acos C,asin C),C(0,0).
请同们分析B点坐标是怎样得来的.
生：∠ACB=∠C,CB为∠ACB的终边,B为CB上一点,设B的坐标为(x,y),则sinC= =,cos C==所以B点坐标x=acosC,y=asinC.
师：回答很准确,A,B两点间的距离如何求?
生：｜AB｜2=(acosC-b)2+(asinC-0)2
=a2cos2C-2abcosC+b2-a2sin2C
=a2+b2-2abcos C,
即c2=a2+b2-2abcos C.
师：大家请看,我们这里也导出了余弦定理,这个证明方法是解析法.这种方法以后还要详细学习.
余弦定理用语言可以这样叙述,三角形一边的平方等于另两边的平方和再减去这两边与夹角余弦的乘积的2倍,即：
a2=b2+c2-2bccos A.
c2=a2+b2-2abcos C.
b2=a2+c2-2accos B.