离散数学中命题演算证明法有关问题

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/24 05:11:09

离散数学中命题演算证明法有关问题
1、（A∩B）×（C ∩ D）=（A×C） ∩ （B×D）；
对于任意的,
∈（A∩B）×（C ∩ D）
x∈ A∩B Λ y∈C∩D
x∈A Λ x∈B Λ y∈C Λ y∈D
∈（A×C） Λ ∈（B×D）
∈（A×C） ∩ （B×D）
//结论是正确的
2、（AUB）×（CUD）=（A×C）U（B×D）；
我的推导过程是：
对于任意的,
∈（AUB）×（CUD）
x∈ AUB V y∈CUD
x∈A V X∈B V y∈C V y∈D
∈（A×C）V ∈（B×D）
∈（A×C）U（B×D）
//结论是错误的
老师说2、中的错误在于
x∈A V X∈B V y∈C V y∈D
∈（A×C）V ∈（B×D）
这步不对,应写成
x∈A V X∈B V y∈C V y∈D
∈（A×C）V ∈（B×D）V∈（A×D）V ∈（B×C）
∈（A×C）U（B×D）U（A×D）U（B×C）
想问问为什么
《i》1、中不用写成∈（（A×C）∩（B×D））∪（（A×D）∩（B×C））而2、中为什么要考虑那么多情况?

你的证明的第一步就错了,联结词是析取.应该是：
∈(A∪B)×(C∪D)
(x∈A∪B) ∧ (y∈C∪D) // 中间的联结词应是析取∨
(x∈A∨x∈B) ∧ (y∈C∨y∈D)
接下来要使用分配律,一共得到四个式子.
(x∈A∧y∈C)∨(x∈A∧y∈D)∨(x∈B∧y∈C)∨(x∈B∧y∈D)

1中的
∈(A∩B)×(C∩D)
(x∈A∩B)∧(y∈C∩D) //中间的联结词是合取
(x∈A∧x∈B)∧(y∈C∧y∈D) //所有的联结词是合取,接下去使用结合律,x与y两两配对,变成两个式子.
再问：谢谢! 还有一点不明白！！ 1、中推到(x∈A∧x∈B)∧(y∈C∧y∈D)时不是应该等价于∈（（A×C）∩（B×D））∪（（A×D）∩（B×C））为什么答案是∈（（A×C）∩（B×D））就可以了？就是当x∈A时，y不是可以∈C或D 么？
再答：直接组合可以写出两个式子，(x∈A∧y∈C)∧(x∈B∧y∈D)，此即(A×C)∩(B×D)；或者，(x∈A∧y∈D)∧(x∈B∧y∈C)，此即(A×D)∩(B×C)；或者，使用幂等律，变成(x∈A∧x∈A∧x∈B∧x∈B)∧(y∈C∧y∈C∧y∈D∧y∈D) ，x,y两两结合，写成四个式子，(x∈A∧y∈C)∧(x∈A∧y∈D)∧(x∈B∧y∈C)∧(x∈B∧y∈D)，此即(A×C)∩(A×D)∩(B×C)∩(B×D)。这三个结果都可以，很明显只用两个集合的交集就可以表达题目意思，干嘛一定要写成四个集合的交集呢？

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