作业帮 > 数学 > 作业

设f(x)=∫(定积分范围是0到1)|x²-a² |dx(1)当0≤a≤1时与a>1时,分别求f(a

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/28 18:26:07
设f(x)=∫(定积分范围是0到1)|x²-a² |dx(1)当0≤a≤1时与a>1时,分别求f(a)(2)当a≥0时,求f(a)的最小值
法一:顺序
  0≤a≤1时,x分两段开绝对值求f(a).a>1只有一种.求出分段表示的f(a),然后分段求导,求最小值.
  法二:逆序
  由f(a)=∫g(x,a)dx,求(d/da)f(a)=(d/da)∫g(x,a)dx=∫(d/da)g(x,a)dx.
  (d/da)|x²-a²|=2a,当x≤a,
  (d/da)|x²-a²|=-2a,当x>a,
  所以,(d/da)f(a)=2a(a-0)+(-2a)(1-a)=2a(2a-1),当0≤a≤1,
  (d/da)f(a)=2a,当a>1.
  所以,当a=1/2时,取得最小值.
  易求:f(1)=2/3,或者f(0)=1/3.
  不定积分∫(d/da)f(a)da也易算,定积分f(a)也就求出来了.
  最小值,a=1/2,正好一半,作图心算也可以:
  对x积分转折前=1/8-(1/3)×(1/8)
  后半段=(1/3)×(1-1/8)-1/8
  总共=1/4.