向量的运算公式

向量的运算公式

    定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
      定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a?b.若a、b不共线,则a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉；若a、b共线,则a?b=+-∣a∣∣b∣.
      向量的数量积的坐标表示：b=x?x'+y?y'.
      向量的数量积的运算律
      a?b=b?a（交换律）；
      (λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律)；
      （a+b)?c=a?c+b?c（分配律）；
      向量的数量积的性质
      a?a=|a|的平方.
      a⊥b 〈=〉a?b=0.
      |a?b|≤|a|?|b|.
      向量的数量积与实数运算的主要不同点
      1、向量的数量积不满足结合律,即：(a?b)?c≠a?(b?c)；例如：(a?b)^2≠a^2?b^2.
      2、向量的数量积不满足消去律,即：由 b=a?c (a≠0),推不出 b=c.
      3、|a?b|≠|a|?|b|
      4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.
      
      
      2、向量的向量积
      
      
      定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.
      向量的向量积性质：
      ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.
      a×a=0.
      a‖b〈=〉a×b=0.
      向量的向量积运算律
      a×b=-b×a；
      （λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
      （a+b）×c=a×c+b×c.
      注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.
      
      
      3、向量的三角形不等式
      
      
      1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
      ① 当且仅当a、b反向时,左边取等号；
      ② 当且仅当a、b同向时,右边取等号.
      2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.
      ① 当且仅当a、b同向时,左边取等号；
      ② 当且仅当a、b反向时,右边取等号.
      
      
      4、定比分点
      
      
      定比分点公式（向量P1P=λ?向量PP2）
      设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点.则存在一个实数 λ,使 向量P1P=λ?向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.
      若P1（x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有
      OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）
      x=(x1+λx2)/(1+λ),
      y=(y1+λy2)/(1+λ).（定比分点坐标公式）
      我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
      5、三点共线定理
      若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
      三角形重心判断式
      在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
      向量共线的重要条件
      若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb.
      a//b的重要条件是 xy'-x'y=0.
      零向量0平行于任何向量.
      向量垂直的充要条件
      a⊥b的充要条件是 b=0.
      a⊥b的充要条件
希望对你有用,