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已知向量a+b+c+d=0,求证|a|+|b|+|c|+|d| >=|a+d|+|b+d|+|c+d|.

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2022/05/19 22:29:46
已知向量a+b+c+d=0,求证|a|+|b|+|c|+|d| >=|a+d|+|b+d|+|c+d|.
本人分数不多,
我需要一些比较奇妙的解法,
已知向量a+b+c+d=0,求证|a|+|b|+|c|+|d| >=|a+d|+|b+d|+|c+d|.
证明:
简单一点,设向量是平面向量而不是空间向量.如果是立体空间向量,我想证明方法是相似的.
已知向量a+b+c+d=0,
即 向量a,b,c,d组成了一个闭合四边形,向量d的末端与向量a的起点重合.
设向量a的起点坐标是(0,0),向量d的终点坐标也是(0,0);向量a,b,c的终点坐标分别为(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3).
|向量a|=√[x1)^2+(y1)^2],
|向量b|=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2],
|向量c|=√[(x3-x2)^2+(y3-y2)^2],
|向量d|=√[(0-x3)^2+(0-y3)^2]=√[(x3)^2+(y3)^2],
|a|+|b|+|c|+|d|=√[x1)^2+(y1)^2]+√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]+√[(x3-x2)^2+(y3-y2)^2]+√[(x3)^2+(y3)^2],
向量a+向量d=向量(向量a+向量d),
把向量d的起点放到(0,0),则 其终点坐标即为:(-x3,-y3),
其实,按照正常的矢量运算规则,也是一样的,
|向量a+d|=√[(x1-x3)^2+(y1-y3)^2];
|b+d|=√[(x2-x1-x3)^2+(y2-y1-y3)^2],
|c+d|=√[(x3-x2-x3)^2+(y3-y2-y3)^2],
|a+d|+|b+d|+|c+d|=√[(x1-x3)^2+(y1-y3)^2]+√[(x2-x1-x3)^2+(y2-y1-y3)^2]+√[(x3-x2-x3)^2+(y3-y2-y3)^2],
现在,比较下面两者的大小:
|a|+|b|+|c|+|d|=√[(x1)^2+(y1)^2]+√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]+√[(x3-x2)^2+(y3-y2)^2]+√[(x3)^2+(y3)^2],  与
|a+d|+|b+d|+|c+d|=√[(x1-x3)^2+(y1-y3)^2]+√[(x2-x1-x3)^2+(y2-y1-y3)^2]+√[(x3-x2-x3)^2+(y3-y2-y3)^2],
因为 在x3≥0,y3≥0 情况下,
(x1)^2+(y1)^2  ≥ [(x1-x3)^2+(y1-y3)^2,
[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2 ≥ (x2-x1-x3)^2+(y2-y1-y3)^2,
[(x3-x2)^2+(y3-y2)^2 ≥ [(x3-x2-x3)^2+(y3-y2-y3)^2,
所以 
√[(x1)^2+(y1)^2]+√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]+√[(x3-x2)^2+(y3-y2)^2]+√[(x3)^2+(y3)^2] ≥ √[(x1-x3)^2+(y1-y3)^2]+√[(x2-x1-x3)^2+(y2-y1-y3)^2]+√[(x3-x2-x3)^2+(y3-y2-y3)^2],
所以 
|a|+|b|+|c|+|d| ≥ |a+d|+|b+d|+|c+d|.