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已知函数f(x)=x+1x

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 14:54:01
已知函数f(x)=x+
1
x
(1)f(x)=x+
1
x为定义域内的奇函数.
证明如下:
∵函数f(x)=x+
1
x的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,
又f(-x)=-x+
1
−x=-(x+
1
x)=-f(x),
∴f(x)=x+
1
x为定义域内的奇函数;
(2)证明:设x1,x2是(0,1)内的任意两个实数,且x1<x2
则f(x1)−f(x2)=x1+
1
x1−(x2+
1
x2)=(x1−x2)−
x1−x2
x1x2=(x1−x2)(1−
x1−x2
x1x2).
∵x1,x2∈(0,1)且x1<x2
∴x1−x2<0,1−
1
x1x2<0.
则(x1−x2)(1−
1
x1x2)>0.
即f(x1)>f(x2).
∴f(x)在(0,1)上为减函数.