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研究方程lg(x-1)+lg(x-3)=lg(a-x)(a属于R)的实数解的个数

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 13:24:51
研究方程lg(x-1)+lg(x-3)=lg(a-x)(a属于R)的实数解的个数
lg(x-1)+lg(x-3)=lg(a-x)(a属于R) 则3<>x<a 且lg[(x-1)(x-3)]=lg(a-x)(a属于R) 若此式要有解,则必须(x-1)(x-3)=a-x 设函数f(x)=(x-1)(x-3),可知此函数开口向上,且与x轴的交点为1,3.∵x>3 ∴函数f(x)符合题意部分为抛物线右半支的x轴之上的部分.设函数g(x)=a-x 则它的斜率为-1,且它与x轴的交点为a.(可知它是一条向右下方倾斜的直线.) ∵根据题意a>x ∴要使g(x)=a-x和f(x)=(x-1)(x-3),在x轴的上方有交点,即让它们有有效解,必须a>3(若a=3,则f(x)和g(x)的交点在(3,0),a=x,与a>x矛盾;若1<a<3的话,f(x)和g(x)的交点在x轴的下方,所得解不合题意;若a<1,交点在f(x)左半支的x轴之上的部分,所得解也不合题意.这点做图可以看得很清楚的.) 而g(x)为直线,∴它和f(x)抛物线右半支的x轴之上的部分只有一个交点.所以方程lg(x-1)+lg(x-3)=lg(a-x)(a属于R)只在a>3时有一个实数解.