作业帮高中数列难题,归纳证明
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/25 07:29:14
高中数列难题,归纳证明
1、数学归纳法：
n=1时,n1=3=4*0+3,满足题意
设n=k-1时,满足题意,即存在m[k-1]使得a[k-1]=4m[k-1]+3
那么n=k时,a[k]=3^a[k-1]=3^(4m[k-1]+3)=(4-1)^(4m[k-1]+3) 二项式展开
=4^(4mk-1]+3)+C(4m[k-1]+3,1]*4^(4m[k-1]+2)*(-1)……+C(4m[k-1]+3,4m[k-1]+2)*4*(-1)^(4m[k-1]+2)+(-1)^(4[mk-1]+3)
可以看到展开式中除最后一项外,都可以被4整除,而且4m[k-1]+3是奇数,那么最后一项是-1
那么可以表示成a[k]=4t-1=4(t-1)+3
所以a[k]可以表示成4m[k]+3的形式,故n=k时命题成立,故得证
2、由第一问知a[n]=4m[n]+3
而经尝试可知3^1=3 3^2=9 3^3=27 3^4=81 3^5=243……
3^k的末尾数4个一循环,也就是说3^(4m[n]+3)的尾数和3^3的一样,也就是7
n=1时,n1=3=4*0+3,满足题意
设n=k-1时,满足题意,即存在m[k-1]使得a[k-1]=4m[k-1]+3
那么n=k时,a[k]=3^a[k-1]=3^(4m[k-1]+3)=(4-1)^(4m[k-1]+3) 二项式展开
=4^(4mk-1]+3)+C(4m[k-1]+3,1]*4^(4m[k-1]+2)*(-1)……+C(4m[k-1]+3,4m[k-1]+2)*4*(-1)^(4m[k-1]+2)+(-1)^(4[mk-1]+3)
可以看到展开式中除最后一项外,都可以被4整除,而且4m[k-1]+3是奇数,那么最后一项是-1
那么可以表示成a[k]=4t-1=4(t-1)+3
所以a[k]可以表示成4m[k]+3的形式,故n=k时命题成立,故得证
2、由第一问知a[n]=4m[n]+3
而经尝试可知3^1=3 3^2=9 3^3=27 3^4=81 3^5=243……
3^k的末尾数4个一循环,也就是说3^(4m[n]+3)的尾数和3^3的一样,也就是7