计算曲面积分∫∫（x^2)dS,其中S为上球面z=根号（1-x^2-y^2）,x^2+y^2

计算曲面积分∫∫（x^2)dS,其中S为上球面z=根号（1-x^2-y^2）,x^2+y^2<=1.

为啥没有下面的部分呢?条件不足.把问题修正一下.
计算曲面积分∫∫Σ x² dS,其中Σ为上球面z = √(1 - x² - y²),x² + y² = 1被z = - h所截得的部分.
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取Σ1：z = √(1 - x² - y²),0 ≤ z ≤ 1
取Σ2：x² + y² = 1,- h ≤ z ≤ 0
∫∫Σ1 x² dS
= ∫∫D x² * 1/√(1 - x² - y²) dxdy,x² + y² ≤ 1
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,1) r³cos²θ/√(1 - r²) dr
= 2π/3
∫∫Σ2 x² dS
= 2∫∫Σ21 x² dS
= 2∫∫D (1 - y²) dydz
= 2∫(- h,0) dz ∫(- 1,1) √(1 - y²) dy
= 2 * πh/2
= πh
于是∫∫Σ x² dS = 2π/3 + πh = (1/3)(2 + 3h)π
再问： 谢谢，请问 ∫(0，2π) dθ ∫(0，1) r³cos²θ/√(1 - r²) dr = 2π/3这一步能给我详细说一下是怎么对r积的？
再答： 可用第二换元法： ∫(0，1) r³/√(1 - r²) dr，令r = sinφ，dr = cosφ dφ = ∫(0，π/2) sin³φ/cosφ * cosφ dφ = ∫(0，π/2) sin³φ dφ = ∫(0，π/2) (1 - cos²φ) d(- cosφ) = (1/3 * cos³φ - cosφ)：(0，π/2) = - (1/3 - 1) = 2/3 ∫(0，2π) cos²θ dθ = ∫(0，2π) (1 + cos2θ)/2 dθ = (1/2)(θ + 1/2 * sin2θ)：(0，2π) = (1/2)(2π) = π 你肯行你的题目没问题吗？积分区域并没有下限的。
再问： 考试题就是这样的，下限应该就是z=0.谢谢你
再答： 还以为后面那个那包括了呢，是个圆柱体。 那用对称性再算一次，这个算法会简单点，不用算θ的部分。 取Σ：z = √(1 - x² - y²) 有∫∫Σ x² dS = ∫∫Σ y² dS (对称性，Σ关于yoz面和zox面都对称) ∫∫Σ x² dS = (1/2)∫∫Σ (x² + y²) dS = (1/2)∫∫D (x² + y²) * 1/√(1 - x² - y²) dxdy = (1/2)∫(0，2π) dθ ∫(0，1) r²/√(1 - r²) * r dr，令r = sinz，dr = cosz dz = (1/2)(2π)∫(0，π/2) sin³z/cosz * cosz dz = π∫(0，π/2) (cos²z - 1) d(cosz) = π(1/3 * cos³z - cosz)：(0，π/2) = - π(1/3 * 1 - 1) = 2π/3