（2013?宁波二模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/26 06:53:28

（2013?宁波二模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D，E�

（2013?宁波二模）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA₁=2，D，E分别为CC₁与A₁B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心
（Ⅰ）求证：DE∥平面ACB；
（Ⅱ）求A₁B与平面ABD所成角的正弦值．

（Ⅰ）证明：如图，取AB中点F，连接EF，FC，

又因为E为A₁B的中点，
所以EF∥A₁A，EF＝
1
2A1A，
又DC∥A₁A，DC＝
1
2A1A
所以四边形DEFC为平行四边形
则ED∥CF，因为ED?平面ABC，FC?平面ABC，
所以ED∥平面ABC；
（Ⅱ）过E作EH⊥DF于H，连结HB，
由CC₁⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以CC₁⊥AB，
由AC=BC，AF=FB，所以AB⊥CF，
又CF∩CD=C，CF，CD?平面DEFC，
所以AB⊥平面DEFC，EH?平面DEFC，所以AB⊥EH，
又EH⊥DF，DF∩AB=F，AB，DF?平面ABD，所以EH⊥平面ABD，
所以∠EBH为A₁B与平面ABD所成角的平面角，
因为H为△ABD的重心，在Rt△DEF中，EF2＝FH?FD＝
1
3FD2＝1
所以得FD＝
3，HF＝

3
3，EH＝

6
3，CF＝
2，FB＝
2，EB＝
3，
得sin∠EBH＝
EH
EB＝