（2009•淮安模拟）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点，试用空间向量知识解下列问题

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/19 09:10:42

（2009•淮安模拟）如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点，试用空间向量知识解下列问题：
（1）求证：AB₁⊥平面A₁BD；
（2）求二面角A-A₁D-B的余弦值大小．

证明：（1）取BC中点O，连AO，
∵△ABC为正三角形，
∴AO⊥BC
又∵平面ABC⊥平面BCB₁C₁，平面ABC∩平面BCB₁C₁=BC，AO⊂平面ABC
∴AO⊥平面BCB₁C₁，…（2分）
取B₁C₁中点为O₁，
以O为原点，

OB，

OO1，

OA的方向为x，y，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），D(−1，1，0)，A1(0，2，
3)，A(0，0，
3)，B1(1，2，0)…（4分）
∴

AB1＝(1，2，−
3)，

BD＝(−2，1，0)，

BA1＝(−1，2，
3)，
∵

AB1•

BD＝−2+2+0＝0，

AB1•

BA1＝−1+4−3＝0，
∴

AB1⊥

BD，

AB1⊥

BA1，
∴AB₁⊥平面A₁BD．…（6分）
（2）设平面A₁AD的法向量为

n＝(x，y，z)，
由

AD＝(−1，1，−
3)，

AA1＝(0，2，0)．

n⊥

AD，

n⊥

AA1，
∴

n•

AD＝0

n•

AA1＝0，
∴

−x+y−
3z＝0
2y＝0，
解得

y＝0
x＝−
3z，
令z=1，得

n＝(−
3，0，1)为平面A₁AD的一个法向量，…（8分）
由（1）知AB₁⊥平面A₁BD，
∴

AB1为平面A₁AD的法向量，
cos＜

n，

AB1＞＝

n•

AB1
|

n||

AB1|＝
−
3−
3
2×2
2＝−

6
4，
∴二面角A-A₁D-B的余弦值大小为cosθ＝

6
4．…（10分）