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已知:△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,其中∠ABC=∠ADE=90°,点M为EC的中点.

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 23:39:11
已知:△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,其中∠ABC=∠ADE=90°,点M为EC的中点.

(1)如图,当点D,E分别在AC,AB上时,求证:△BMD为等腰直角三角形;
(2)如图,将图中的△ADE绕点A逆时针旋转45°,使点D落在AB上,此时问题(1)中的结论“△BMD为等腰直角三角形”还成立吗?请对你的结论加以证明.
(1)证明:如图,
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,
∴∠EDC=90°,BA=BC,
∴∠BCA=45°,
∵点M为EC的中点,
∴BM=
1
2EC=MC,DM=
1
2EC=MC,
∴BM=DM,
∴∠MBC=∠MCB,∠MDC=∠MCD,
∴∠BME=2∠BCM,∠EMD=2∠DCM,
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=2∠BCM+2∠DCM
=2(∠BCM+∠DCM)=2∠BCA=2×45°=90°,
∴△BMD为等腰直角三角形.
(2)△BMD为等腰直角三角形.理由如下:
延长DM交BC于点N.
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,
∴BA=BC,DE=DA,∠EDB=90°,
∴∠EDB=∠DBC,
∴ED∥BC,
∴∠DEC=∠BCE,
∵点M为EC的中点,
∴EM=CM,
∵在△EDM与△CNM中,∠DEM=∠NCM,EM=CM,∠EMD=∠CMN,
∴△EDM≌△CNM,
∴ED=CN,MD=MN,
∴AD=CN,
∴BA-DA=BC-NC,
即BD=BN,
∴BM=
1
2DN=DM,
∴BM⊥DN,即∠BMD=90°,
∴△BMD为等腰直角三角形.