2013乌鲁木齐一模理科数学答案

2013乌鲁木齐一模理科数学答案

2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷 理科数学
理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：共12小题,每小题5分,共60分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
D
C
A
A
D
A
B
B
C
B
D
B




1.选D.【解析】 或 ,由 ,得 ．
2.选C.【解析】 ,其共轭复数为 ,即 ,所以 .
3.选A.【解析】 ；反之 ,不能推出 ．
4.选A.【解析】 的定义域为 记 ,则
,故 是奇函数.
5.选D.【解析】函数 的零点就是方程 的根,作出
的图象,观察它与直线 的交点,得知当 时,
或 时有交点,即函数 有零点.
6.选A.【解析】由 , ,解得 ,再由：
,解得 .
7.选B.【解析】 ,所以 ,即 ,所以 ,
由 过点 ,即 , ,
解得 ,函数为 ,由 ,
解得 ,故函数单调递增区间为 .
8.选B.【解析】依题意 ,有 ,故 .
9.选C.【解析】（略）.
10.选B.【解析】双曲线的渐近线为 ,抛物线的准线为 ,设 ,当直线过点 时, .
11.选D.【解析】易知直线 的方程为 ,直线 的方程为
,联立可得 ,又 ,
∴ , ,
∵ 为钝角∴ ,即 ,
化简得 , ,故 ,即 , 或 ,而 ,所以 .
12.选B.【解析】设 中, 分别是 所对的边,由
得
即 ,∴
∴ ,即 ,
∴ .
二、填空题：共4小题,每小题5分,共20分.
13.填 ．【解析】设遮住部分的数据为 , ,
由 过 得
∴ ,故 .
14.填 ．【解析】平面 ∥平面 ,∴ 到平面 的距离等于平面 与平面 间的距离,等于 ,而 ,
∴三棱锥 的体积为 .
15.填 ．【解析】 ,点 每秒旋转 ,所以 秒旋转 , , ,则 .
16.填 ．【解析】设直线 的方程为 ,则直线 的方程为 ,
则点 满足 故 ,
∴ ,同理 ,
故
∵ （当且仅当 时,取等号）
∴ ,又 ,故 的最小值为 .
三、解答题：共6小题,共70分.
17.（Ⅰ）设 的公比为 , 的公差为 ,依题意
解得 ,或 （舍） ∴ , ； …6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ,
因为 ,
所以 ,即 ,∴最小的 值为6. …12分

18.（Ⅰ）依据条件, 服从超几何分布：其中 , 的可能值为 ,其分布列为： .



…6分

（Ⅱ）依题意可知,一年中每天空气质量达到一级的概率为 ,
一年中空气质量达到一级的天数为 ,则 ,∴ （天）
所以一年中平均有 天的空气质量达到一级. …12分

19．设正方形 的中心为 , 为 的中点, 为 的中点,分别以 , , 所在直线为 轴, 轴, 轴,如图建立空间直角坐标系,
在 中,可得 ,
则 ,
.
于是
.
（Ⅰ）∵ ,
∴ ,即 ⊥ ； …6分

（Ⅱ）设平面 的法向量为 ,由 得
故 ,同理可得平面 的法向量为 ,
设二面角 的平面角为 ,则 ． …12分
20．（Ⅰ）⊙ 的半径为 ,⊙ 的方程为 ,
作 ⊥ 轴于 ,则 ,即 ,则 （ 是过 作直线 的垂线的垂足）,则点 的轨迹是以 为焦点, 为准线的抛物线．
∴点 的轨迹 的方程为 ； …6分
（Ⅱ）当 不与 轴垂直时,直线 的方程为 ,由 得
,设 ,则
∴ ,
当 与 轴垂直时,也可得 ,
综上,有 ． …12分
21．（Ⅰ）∵ ,
∴曲线 在点 处的切线斜率为 ,
依题意 ,故 ,∴ , ,
当 时, ,函数 单调递增；当 时, ,函数 单调递减；所以函数 的单调增区间为 ,减区间为 ； …6分
（Ⅱ）若 ,因为此时对一切 ,都有 , ,所以 ,与题意矛盾,又 ,故 ,由 ,令 ,得 .
当 时, ,函数 单调递增；当 时, ,函数 单调递减；所以 在 处取得最大值 ,故对 , 恒成立,当且仅当对 , 恒成立．
令 , , .
则 ,当 时, ,函数 单调递减；当 时, ,函数 单调递增；所以 在 处取得最小值 ,因此,当且仅当 ,即 时, 成立．
故 的取值集合为 ． …12分
22．（Ⅰ）连接 ,∵ 是 的直径,∴ .
∴
∵ ,∴ ,
∵ 是弦,且直线 和 切于点 ,
∴
∴ ,即 平分 ； …5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ,∴ ,由此得 .
∵ ,∴ ,于是 ,
故 的大小为 ． …10分
23．（Ⅰ）设曲线 上任一点为 ,则 在圆 上,
于是 即 .
直线 的极坐标方程为 ,将其记作 ,
设直线 上任一点为 ,则点 在 上,
于是 ,即：
故直线 的方程为 …5分
（Ⅱ）设曲线 上任一点为 ,
它到直线 的距离为 ,
其中 满足： .
∴当 时, . …10分
24．（Ⅰ） ． …5分
（Ⅱ）∵ ,
∴要使 成立,需且只需 ,
即 ,或 ,或 ,解得 ,或
故 的取值范围是 . …10分