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在正三棱锥A-BCD中,E,F分别是AB,BC的中点,EF⊥DE,且BC=1,则点A到平面BCD的距离为66

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/03/29 01:21:39
在正三棱锥A-BCD中,E,F分别是AB,BC的中点,EF⊥DE,且BC=1,则点A到平面BCD的距离为
6
6
如图所示,作AO⊥平面BCD,则点O为底面BCD的中心.
∵△BCD是边长为1的等边三角形,
∴BO=
2


3
2=

3
3,DF=

3
2.
设AB=2x,利用中线长定理可得DE2=
1
2(AD2+BD2−
AB2
2)=
1
2(1+2x2).
∵EF⊥DE,∴EF2+DE2=DF2
∵EF=
1
2AC=x,∴x2+
1
2(1+2x2)=(

3
2)2,化为4x2=
1
2.
∵AO⊥平面BCD,∴AO⊥BO.
∴AO=
AB2−BO2=
(2x)2−(

3
3)2=

1
2−
1
3=

6
6.
故答案为

6
6.