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如图 抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B 两点,与 y轴交于点C,对称轴与抛物线交于点P,与直线BC 交于点M,

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/28 21:06:26

如图 抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B 两点,与 y轴交于点C,对称轴与抛物线交于点P,与直线BC 交于点M,连接PB.
(1)抛物线上是否存在异于点P 的一点Q,使△QMB 与△PMB 的面积相等?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)在第一象限对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R,使△RPM 与△RMB 的面积相等?若存在,求出点R 的坐标;

若不存在,请说明理由.

(1).y=-x²+2x+3=-(x²-2x)+3=-[(x-1)²-1]+3=-(x-1)²+4
对称轴:x=1;顶点P(1,4);C(0,3);A(-1,0);B(3,0);
BC所在直线的方程为y=-x+3;令x=1,得M点的坐标为(1,2);
那么S△PMB=(1/2)×∣PM∣×∣XB-1∣=(1/2)×(4-2)(3-1)=2;
设Q点的坐标为(m,-m²+2m+3);
则△QMB的面积S:
.∣m -m²+2m+3 1 ∣
S=(1/2)∣1 2 1 ∣=(1/2)[2m+2(-m²+2m+3)-6]=(1/2)(-2m²+6m)=2
.∣3 0 1 ∣
即有-2m²+6m-4=-2(m²-3m+2)=-2(m-1)(m-2)=0,故得m=2;
于是-m²+2m+3 =-4+4+3=3;即Q点的坐标为(2,3).
(2).设R的坐标为(x,-x²+2x+3),那么
.∣x -x²+2x+3 1 ∣
S△RPM=(1/2)∣1 4 1 ∣=(1/2)(2x-2)=x-1
.∣1 2 1 ∣
.∣x -x²+2x+3 1∣
S△RMB=(1/2)∣1 2 1∣=(1/2)[2x+2( -x²+2x+3)-6]=-x²+3x
.∣3 0 1∣
由x-1=-x²+3x,得x²-2x-1=0,解得x=1+√2,y=-(1+√2)²+2(1+√2)+3=2,即R点的坐标为(1+√2,2).