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过平面α外一条直线a与α平行的平面的个数为

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2021/12/03 00:14:26
过平面α外一条直线a与α平行的平面的个数为
A:只有一个
B:至多一个
C:至少一个
D:没有
B,至多1个
【几何证明】
a‖α时,只需任意找一条直线b‖α,且a,b相交即可
a与α相交时,设平面为β,a与α交点为P,根据题意P∈β,P∈α,则α∩β=l且P∈l,这与α‖β矛盾
【向量证明】
选取α内不共线两向量i,k及α的一个法向量j,则{i,j,k}是空间内一组基底
设a的方向向量n,则n=a1·i+a2·j+a3·k
取一与a共面但不平行的向量m=b1·i+b2·j+b3·k
则任一与m,n同在一个面β上的向量都可以写成p=λm+μn(λ,μ∈R)
要使得α‖β,即要使得p‖α
即λm+μn=λ(b1·i+b2·j+b3·k)+μ(a1·i+a2·j+a3·k)=c1·i+c2·j
也即λb1+μa1=c1,λb2+μa2=c2,λb3+μa3=0
若a‖α,则a3=0,b3=0,可以解得符合题意的面β
若a,α不平行,不存在a3,b3使得任意λ,μ均符合λb3+μa3=0