作业帮已知函数f（x）=x-x-1．
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/19 14:58:02
已知函数f（x）=x-x-1．
（Ⅰ） 判断函数f（x）的奇偶性，并证明
（Ⅱ） 证明函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．
（Ⅰ） 判断函数f（x）的奇偶性，并证明
（Ⅱ） 证明函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．
（I）f（x）=x-x-1的定义域为{x|x≠0}，
f（-x）=-x+x-1=-f（x）
∴函数f（x）为奇函数
（II）任取x1，x2∈（0，+∞），不妨设x1＜x2，则有
f(x1)−f(x2)＝x1−
1
x1−(x2−
1
x2)
＝(x1−x2)+(
1
x2−
1
x1)
＝(x1−x2)+(
x1−x2
x1x2)
＝(x1−x2)(1+
1
x1x2)
＝
(x1−x2)(x1x2+1)
x1x2
∵x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2
∴x1-x2＜0，x1x2+1＞0，x1x2＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0
即f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
f（-x）=-x+x-1=-f（x）
∴函数f（x）为奇函数
（II）任取x1，x2∈（0，+∞），不妨设x1＜x2，则有
f(x1)−f(x2)＝x1−
1
x1−(x2−
1
x2)
＝(x1−x2)+(
1
x2−
1
x1)
＝(x1−x2)+(
x1−x2
x1x2)
＝(x1−x2)(1+
1
x1x2)
＝
(x1−x2)(x1x2+1)
x1x2
∵x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2
∴x1-x2＜0，x1x2+1＞0，x1x2＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0
即f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．