作业帮已知a,b,c都是正数 a+b+c=1 求证a^3+b^3+c^3>=(a^2+b^2+c^2)/3
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/19 21:43:38
已知a,b,c都是正数 a+b+c=1 求证a^3+b^3+c^3>=(a^2+b^2+c^2)/3
要求用柯西不等式
要求用柯西不等式
(a^2+b^2+c^2)*(1+1+1)>=(a+b+c)^2=1 (柯西不等式）
所以(a^2+b^2+c^2）>=1/3 （1式）
又a^3+b^3+c^3＝（a^3+b^3+c^3）*（a+b+c)>=(a^2+b^2+c^2)^2>=(a^2+b^2+c^2）/3 (将1式代入结果,同时第一个不等号处又用了一次柯西不等式）
证毕.
再问： 能否说明一下(a^2+b^2+c^2)^2>=(a^2+b^2+c^2）/3是怎么得到的？
再答： 上面有一个1式对么？ (a^2+b^2+c^2）>=1/3 （1式） 由这个不是可以推出 (a^2+b^2+c^2)^2>=(a^2+b^2+c^2）/3 么？ 就是把一个(a^2+b^2+c^2）留着，另一个(a^2+b^2+c^2）放缩，缩小成1/3，因为1式成立，而且两项都是正数。
所以(a^2+b^2+c^2）>=1/3 （1式）
又a^3+b^3+c^3＝（a^3+b^3+c^3）*（a+b+c)>=(a^2+b^2+c^2)^2>=(a^2+b^2+c^2）/3 (将1式代入结果,同时第一个不等号处又用了一次柯西不等式）
证毕.
再问： 能否说明一下(a^2+b^2+c^2)^2>=(a^2+b^2+c^2）/3是怎么得到的？
再答： 上面有一个1式对么？ (a^2+b^2+c^2）>=1/3 （1式） 由这个不是可以推出 (a^2+b^2+c^2)^2>=(a^2+b^2+c^2）/3 么？ 就是把一个(a^2+b^2+c^2）留着，另一个(a^2+b^2+c^2）放缩，缩小成1/3，因为1式成立，而且两项都是正数。
已知a,b,c都是正数 a+b+c=1 求证a^3+b^3+c^3>=(a^2+b^2+c^2)/3
设A.B.C均为正数,求证c/(a+b)+a/(b+c)+b/(c+a)>=3/2
已知a,b,c都是正数,a+b+c=1,设t=(根号3a+2)+(根号3b+2)+( 根号3c+2),求证:t
已知a,b,c是正数,求证a^2a*b^2b*c^2c>=a^(b+c)*b^(c+a)*c^(a+b)
已知a,b,c是实数,求证a*a+b*b+c*c>=ab+3b+2c
设a,b,c都是正数,且3^a=4^b=6^c,求a,b,c关系是2/c=2/a+1/b
设a,b,c都是正数,求证a/b+c +b/c+a +c/a+b≥3/2用排序不等式解.
已知a+b/a-b=b+c/2(b-c)=c+a/3(c-a),求证:8a+9b+5c=0
已知a,b,c是正数,a+b+c=1,证明（a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2≥100/3
已知abc不全等的正数 求证b+c-a/a+c+a-b/b+a+b-c/c>3
已知a+b+c=1,a平方+b平方+c平方=3,a>b>c,求证 -2/3
已知a>b>c,且2a+3b+4c=0.(1)求证:a+b+c>0