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在长方体ABCD—A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为a的正方形,高为2a,M、N分别是CD和DA的中点

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2022/01/26 01:32:46
在长方体ABCD—A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为a的正方形,高为2a,M、N分别是CD和DA的中点
求证:M,N,A1,C1四点共面,且四边形MNA1C1是等腰梯形
求梯形的面积
(A1点右边是B1,D的右边是C)

连接AC,A1C1,(先求出这个梯形的四边)
根据题意,AC的平方=2*a的平方,A1C1=AC=根号2*a
MN=1/2AC=(根号2/2)*a
(求出上下底之后,再求边)
因为M是DC中点,所以MC=(1/2)a,根据题意,MC1的平方=MC的平方+CC1的平方=(1/4)*a*a+4*a*a=(5/4)*a*a
MC1=(根号5/2)*a
同理,NA1=(根号5/2)*a
【这样就确定了等腰梯形MNA1C1的四边,解题时另外在草纸上画出这个等腰梯形,以便清晰继续解题.下面求梯形的高,以便算出面积】
在等腰梯形MNA1C1中,过M点做等腰梯形的高,交底部A1C1于P.根据等腰梯形性质(并且下底是上底两倍),PC1=1/2*MN==1/2(根号2/2)*a=(根号2/4)*a
根据勾股定理,PC1的平方+MP的平方=MC1的平方
MP的平方=MC1的平方-PC1的平方=[(根号5/2)*a]的平方-[(根号2/4)*a]的平方=5/4*a*a-1/8*a*a=9/8a*a
MP=3/(2*根号2)*a
梯形面积=(上底+下底)*高/2=(MN+A1C1)*MP/2=[(根号2/2)*a+根号2*a
]*[3/(2*根号2)*a]/2={[(3*根号2)/2]*a}*[3/(2*根号2)*a]/2=9/8*a*a=1.125*a*a
最后得:MNA1C1的面积为1.125*a*a