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(本小题满分12分)已知F1、F2分别是双曲线x2-y2=1的两个焦点,O为坐标原点,圆O是以F1F2为直径的圆,直线l

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 17:16:19
(本小题满分12分)
已知F1、F2分别是双曲线x2-y2=1的两个焦点,O为坐标原点,圆O是以F1F2为直径的圆,直线l:y=kx+b  (b>0)与圆O相切,并与双曲线相交于A、B两点.
(1)根据条件求出b和k满足的关系式;
(2)向量 在向量 方向的投影是p,当(×)p2=1时,求直线l的方程;
(3)当(× )p2=m且满足2≤m≤4时,求DAOB面积的取值范围.

(1)b2="2(k2+1) " (k¹±1,b>0)
(2)y=±x+
(3)[3]

(1)b和k满足的关系式为b2="2(k2+1) " (k¹±1,b>0)  …………3分
(2)设A(x1,y1) B(x2,y2),则由 消去y
得(k2-1)x2+2kbx+b2+1=0,其中k2¹1        …………4分
∴×="x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=" + + 2(k2+1)
由于向量 向上的投影是p
∴p2=cos2<, >=              …………6分
∴(×)×p2= + +2=1Þk=±
∵b2=" 2(k2+1) " (k¹±1,b>0), 故b=,经检验适合D>0
∴直线l的方程为y=±x+             …………8分
(3)类似于(Ⅱ)可得+ +2=m
∴k2="1+" , b2="4+" 根据弦长公式
 …………10分
则SDAOB= |AB|×=
而mÎ[2,4],∴DAOB的面积的取值范围是[3] …………12分