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.已知G为三角形ABC的重心,P为平面上任意一点,求证向量PG=1/3(向量PA+向量PB+向量PC)

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2022/12/02 13:31:33
.已知G为三角形ABC的重心,P为平面上任意一点,求证向量PG=1/3(向量PA+向量PB+向量PC)
先证明:向量AG+向量CG+向量BG =0
反向延长GC到点C1,使得|C1G|=|CG|,交AB于点D
因为点G为三角形的重心,所以根据重心的性质,|GC|=2|GD|,所以点D为GC1的中点
则以AG、BG为临边的平行四边形的另一个顶点为C1,所以向量GA+向量GB=向量GC1
因为向量GC与向量GC1的方向相反,所以:向量GA+向量GB+向量GC=0
所以:向量AG+向量CG+向量BG =0【同乘以-1可以得到】
那么,可以发现:
向量PG=向量PB+向量BG
向量PG=向量PC+向量CG
向量PG=向量PA+向量AG
三个式子相加得到:
3向量PG=向量PB+向量BG+向量PC+向量CG+向量PA+向量AG
因为向量AG+向量CG+向量BG =0
所以3向量PG=向量PB+向量PA+向量PC
即是:向量PG=1/3(向量PA+向量PB+向量PC)
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