如图,A.B两个小集镇在河流CD的同侧,分别到河的距离AC=6千米,BD=14千米,且CD=15千米,现在要在河边建一自

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/25 00:12:36

如图,A.B两个小集镇在河流CD的同侧,分别到河的距离AC=6千米,BD=14千米,且CD=15千米,现在要在河边建一自来水厂,向A.B两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万,请在河流CD上选择水厂的位置M,使铺设水管的费用最节省,并求出总费用.

本题就是求河上一点到到A、B两小镇距离和最小
可以参考初中牵马到河边喝水的解法
做A关于CD的对称点A′：延长AC到点A′,使AC=A′C,连接A′B交CD于P,
AC=A′C,
AC⊥CD,所以∠ACP=∠A′CP=90
CP=CP
因此△ACP≌△A′CP
AP=A′P
现在要求AP+BP最小,也就是A′P+BP最小,因此只要A′、B、P在一条直线上即可
此时做A′D平行CD,交BD延长线于E
简单可得三角形A′EB是直角三角形,四边形A′EDC是矩形,所以A′E=CD=30,DE=A′C=10
在直角三角形A′EB中,A′E=30,BE=BD+DE=40
根据勾股定理,A′B=50