作业帮如何培养数学思维
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/04/26 00:36:23
如何培养数学思维
数学直觉的含义
数学直觉是一种直接反映数学对象结构关系的心智活动形式,它是人脑对于数学对象事物的某种直接的领悟或洞察.它在运用知识组块和直感时都得进行适当的加工,将脑中贮存的与当前问题相似的块,通过不同的直感进行联结,它对问题的分解、改造整合加工具有创造性的加工.
数学直觉,可以简称为数觉（有很多人认为它属于形象思维）,但是并非数学家才能产生数学的直觉,对于学习数学已经达到一定水平的人来说,直觉是可能产生的,也是可以加以培养的.数学直觉的基础在于数学知识的组块和数学形象直感的生长.因此如果一个学生在解决数学新问题时能够对它的结论作出直接的迅速的领悟,那么我们就应该认为这是数学直觉的表现.
数学是对客观世界的反映,它是人们对生活现象的世界运行的秩序直觉的体现,再以数学的形式将思考的理性过程格式化.数学最初的概念是基于直觉,数学在一定程度上就是在问题解决中得到发展,问题解决也离不开直觉,下面我们就以数学问题的证明为例,来考察直觉在证明过程中所起的作用.
一个数学证明可以分解为许多基本运算或多个“演绎推理元素”,一个成功的组合,仿佛是一条从出发点到目的地的通道,一个个基本运算和“演绎推理元素”就是这条通道的一个个路段,当一个成功的证明摆在我们面前开始,逻辑可以帮助我们确信沿着这条路必定能顺利地到达目的地,但是逻辑却不能告诉我们,为什么这些路径的选取与这样的组合可以构成一条通道.事实上,出发不久就会遇上叉路口,也就是遇上了正确选择构成通道的路段的问题.庞加莱认为,即使能复写一个成功的数学证明,但不知道是什么东西造成了证明的一致性.……,这些元素安置的顺序比元素本身更加重要.笛卡尔认为在数学推理中的每一步,直觉能力都是不可缺少的.就好似我们平时打篮球,要等靠球感一样,在快速运动中来不及去作逻辑判断,动作只是下意识的,而下意识的动作正是平时训练产生的一种直觉.
在教育过程中,老师由于把证明过程过分的严格化、程序化,学生只是见到一具僵硬的逻辑外壳,直觉的光环被掩盖住了,而把成功往往归功于逻辑的功劳,对自己的直觉反而不觉得.学生的内在潜能没有被激发出来,学生的兴趣没有被调动,得不到思维的真正乐趣.《中国青年报》曾报道“约30%的初中生学习了平面几何推理之后,丧失了对数学学习的兴趣”,这种现象应该引起数学教育者的重视与反思.
二、 数学直觉思维的主要特点
直觉思维有以下四个主要特点：
（1） 简约性.直觉思维是对思维对象从整体上考察,调动自己的全部知识经验,通过丰富的想象作出的敏锐而迅速的假设,猜想或判断,它省去了一步一步分析推理的中间环节,而采取了“跳跃式”的形式.它是一瞬间的思维火花,是长期积累上的一种升华,是思维者的灵感和顿悟,是思维过程的高度简化,但是它却清晰的触及到事物的“本质”.
（2） 经验性.直觉所运用的知识组块和形象直感都是经验的积累和升华.直觉不断地组合老经验,形成新经验,从而不断提高直觉的水平.
（3） 迅速性.直觉解决问题的过程短暂,反应灵敏,领悟直接.
（4） 或然性.直觉判断的结果不一定正确.直觉判断的结果不一定都正确,这是由于组块本身及其联结存在模糊性所致.
三、 数学直觉思维的培养
从前面的分析可知,培养数学直觉思维的重点是重视数学直觉.徐利治教授指出：“数学直觉是可以后天培养的,实际上每个人的数学直觉也是不断提高的.”也就是说数学直觉是可以通过训练提高的.美国著名心理学家布鲁纳指出：“直觉思维、预感的训练,是正式的学术学科和日常生活中创造性思维的很受忽视而重要的特征.”并提出了“怎样才有可能从早年级起便开始发展学生的直觉天赋”.我们的学生,特别是差生,都有着极丰富的直觉思维的潜能,关键在于教师的启发诱导和有意培养.在明确了直觉的意义的基础上,就可以从下列各个方面入手来培养数学直觉：
1、 重视数学基本问题和基本方法的牢固掌握和应用,以形成并丰富数学知识组块.
直觉不是靠“机遇”,直觉的获得虽然是有偶然性,但决不是无缘无故的凭空臆想,而是以扎实的知识为基础.若没有深厚的功底,是不会迸发出思维的火花.所以对数学基本问题和基本方法的牢固掌握和应用是很重要的.所谓知识组块又称知识反应块.它们由数学中的定义、定理、公式、法则等组成,并集中地反映在一些基本问题,典型题型或方法模式.许多其他问题的解决往往可以归结成一个或几个基本问题,化为某类典型题型,或者运用某种方式模式.这些知识组块由于不一定以定理、性质、法则等形式出现,而是分布于例题或问题之中,因此不容易引起师生的特别重视,往往被淹没在题海之中,如何将它们筛选出来加以精练是数学中值得研究的一个重要课题.
在解数学题时,主体在明了题意并抓住题目条件或结论的特征之后,往往一个念头闪现就描绘出了解题的大致思路.这是尖子学生经常会碰到的事情,在他们大脑中贮存着比一般学生更多的知识组块和形象直感,因此快速反应的数学直觉就应运而生.
例：已知 ,求证：
分析 观察题目条件与结论的式结构后会闪现两个念头：（1）在a、b、c为任意值时,等式通常是不成立的,从而在a、b、c之间存在比题给条件更简单的关系；（2）作为特例考虑,显然三个数中有两个互为相反数时,条件与结论均成立,这意味着条件式子含有因式（a+b）或(b+c)或(c+a),由于轮换对称性,则必含有（a+b）(b+c) (c+a)于是数学直觉形成,只需化简条件至既定目标即可推得结论.这个直觉来源于过去的运算经验—知识组块,也来源于对题给的图式表象的象质转换直感.
2、强调数形结合,发展几何思维与类几何思维.
数学形象直感是数学直觉思维的源泉之一,而数学形象直感是一种几何直觉或空间观念的表现,对于几何问题要培养几何自身的变换、变形的直观感受能力.对于非几何问题则要用几何眼光去审视分析就能逐步过渡到类几何思维.
例2：若a＜b＜c,求函数y=|x－a|+|x－b|+|x－c|的最小值.
分析：数轴上两点间的距离公式AB=|xA－xB|,而数a、b、c在数轴上大致位置如图所示
a
b
c
求y=|x－a|+|x－b|+|x－c|的最小值.即在数轴上求点x,使它到a、b、c的距离之和最小.显然当x定在a、c之间,|x－a|+|x－c|最小.所以
当x=b时,y=|x－a|+|x－b|+|x－c|的值最小.
3、重视整体分析,提倡块状思维.
在解决数学问题时要教会学习从宏观上进行整体分析,抓住问题的框架结构和本质关系,从思维策略的角度确定解题的入手方向和思路.在整体分析的基础上进行大步骤思维,使学生在具有相应的知识基础和已达到一定熟练程度的情况下能变更和化归问题,分析和辨认组成问题的知识集成块,培养思维跳跃的能力.在练习中注意方法的探求,思路的寻找和类型的识别,养成简缩逻辑推理过程,迅速作出直觉判断的洞察能力.
例3 ：I为△ABC的内心,AI、BI、CI的延长线分别交△ABC的外接圆于D、E、F,求证：AD+BE+CF＞AB+BC+CA
D
E
F
B
A
C
I
分析：细心观察图形,寻求可运用的知识组块.有两个形象直感不难获得：（1）由内心性质知DI=DB=DC；（2）应运用三角形不等式的适当组合构成特征不等式,由此得到启发可将AD分成两段推证（BE、CF类同）,即DB+DC＞BC可以推出DI＞ BC及AI+IB＞AB.再得另外四个类似不等式后,将它们同向相加即可推至结论.
4、鼓励大胆猜测,养成善于猜想的数学思维习惯.
数学猜想是在数学证明之前构想数学命题思维过程.“数学事实首先是被猜想,然后才被证实.”猜想是一种合情推理,它与论证所用的逻辑推理相辅相成.对于未给出结论的数学问题,猜想的形成有利于解题思路的正确诱导；对于已有结论的问题,猜想也是寻求解题思维策略的重要手段.数学猜想是有一定规律的,并且要以数学知识的经验为支柱.但是培养敢于猜想、善于探索的思维习惯是形成数学直觉,发展数学思维,获得数学发现的基本素质.因此,在数学教学中,既要强调思维的严密性,结果的正确性,也不应忽视思维的探索性和发现性,即应重视数学直觉猜想的合理性和必要性.
例4：如图,正方形ABCD中,BC=2厘米,现有两点E、F,分别从点B、点A同时出发,点E沿线BA以1厘米/秒的速度向点A运动,点F沿折线A—D—C以2厘米/秒的速度向点C运动,设点E离开点B的时间为t（秒）（1≤t≤2）,EF与 AC相交于点P,问点E、F运动时,点P的位置是否发生变化?若发生变化,请说明理由；若不发生变化,请给予证明,并求AP∶PC的值.
猜想：点P的位置不变.分析：因为点E离开点B的时间为t（秒）,所以AE=(2－1t)厘米.因为点F离开点A的时间为t（秒）,速度为2厘米/秒,所以CF=(4－2t)厘米.则：
E
F
D
A
B
C
P
由于AE‖FC,因式AP∶PC=AE∶CF=1∶2,所以点P的位置不变.
数学直觉思维能力的培养是一个长期的过程.要作一名好的教师,就必须在数学教育的每一个角落渗透对学生的直觉思维的培养,让学生有敏捷的思维,灵活的解题思路和很强的对以往知识结构综合利用能力.这不仅有利于对学生的智力开发,更有利于对学生逻辑思维的培养.
主要参考文献
1、钱学森主编,关于思维科学.上海：上海人发出版社,1986
2、孔慧英,梅智超编著,现代数学思想概论.北京：中国科学技术出版社,1993
3、朱智贤、林崇德,思维发展心理.北京师范大学出版社,1990
4、郭思乐、喻伟著,数学思维教育论.上海：上海教育出版社,1997
5、席振伟著,数学的思维方式.南京：江苏教育出版社,1995
数学直觉是一种直接反映数学对象结构关系的心智活动形式,它是人脑对于数学对象事物的某种直接的领悟或洞察.它在运用知识组块和直感时都得进行适当的加工,将脑中贮存的与当前问题相似的块,通过不同的直感进行联结,它对问题的分解、改造整合加工具有创造性的加工.
数学直觉,可以简称为数觉（有很多人认为它属于形象思维）,但是并非数学家才能产生数学的直觉,对于学习数学已经达到一定水平的人来说,直觉是可能产生的,也是可以加以培养的.数学直觉的基础在于数学知识的组块和数学形象直感的生长.因此如果一个学生在解决数学新问题时能够对它的结论作出直接的迅速的领悟,那么我们就应该认为这是数学直觉的表现.
数学是对客观世界的反映,它是人们对生活现象的世界运行的秩序直觉的体现,再以数学的形式将思考的理性过程格式化.数学最初的概念是基于直觉,数学在一定程度上就是在问题解决中得到发展,问题解决也离不开直觉,下面我们就以数学问题的证明为例,来考察直觉在证明过程中所起的作用.
一个数学证明可以分解为许多基本运算或多个“演绎推理元素”,一个成功的组合,仿佛是一条从出发点到目的地的通道,一个个基本运算和“演绎推理元素”就是这条通道的一个个路段,当一个成功的证明摆在我们面前开始,逻辑可以帮助我们确信沿着这条路必定能顺利地到达目的地,但是逻辑却不能告诉我们,为什么这些路径的选取与这样的组合可以构成一条通道.事实上,出发不久就会遇上叉路口,也就是遇上了正确选择构成通道的路段的问题.庞加莱认为,即使能复写一个成功的数学证明,但不知道是什么东西造成了证明的一致性.……,这些元素安置的顺序比元素本身更加重要.笛卡尔认为在数学推理中的每一步,直觉能力都是不可缺少的.就好似我们平时打篮球,要等靠球感一样,在快速运动中来不及去作逻辑判断,动作只是下意识的,而下意识的动作正是平时训练产生的一种直觉.
在教育过程中,老师由于把证明过程过分的严格化、程序化,学生只是见到一具僵硬的逻辑外壳,直觉的光环被掩盖住了,而把成功往往归功于逻辑的功劳,对自己的直觉反而不觉得.学生的内在潜能没有被激发出来,学生的兴趣没有被调动,得不到思维的真正乐趣.《中国青年报》曾报道“约30%的初中生学习了平面几何推理之后,丧失了对数学学习的兴趣”,这种现象应该引起数学教育者的重视与反思.
二、 数学直觉思维的主要特点
直觉思维有以下四个主要特点：
（1） 简约性.直觉思维是对思维对象从整体上考察,调动自己的全部知识经验,通过丰富的想象作出的敏锐而迅速的假设,猜想或判断,它省去了一步一步分析推理的中间环节,而采取了“跳跃式”的形式.它是一瞬间的思维火花,是长期积累上的一种升华,是思维者的灵感和顿悟,是思维过程的高度简化,但是它却清晰的触及到事物的“本质”.
（2） 经验性.直觉所运用的知识组块和形象直感都是经验的积累和升华.直觉不断地组合老经验,形成新经验,从而不断提高直觉的水平.
（3） 迅速性.直觉解决问题的过程短暂,反应灵敏,领悟直接.
（4） 或然性.直觉判断的结果不一定正确.直觉判断的结果不一定都正确,这是由于组块本身及其联结存在模糊性所致.
三、 数学直觉思维的培养
从前面的分析可知,培养数学直觉思维的重点是重视数学直觉.徐利治教授指出：“数学直觉是可以后天培养的,实际上每个人的数学直觉也是不断提高的.”也就是说数学直觉是可以通过训练提高的.美国著名心理学家布鲁纳指出：“直觉思维、预感的训练,是正式的学术学科和日常生活中创造性思维的很受忽视而重要的特征.”并提出了“怎样才有可能从早年级起便开始发展学生的直觉天赋”.我们的学生,特别是差生,都有着极丰富的直觉思维的潜能,关键在于教师的启发诱导和有意培养.在明确了直觉的意义的基础上,就可以从下列各个方面入手来培养数学直觉：
1、 重视数学基本问题和基本方法的牢固掌握和应用,以形成并丰富数学知识组块.
直觉不是靠“机遇”,直觉的获得虽然是有偶然性,但决不是无缘无故的凭空臆想,而是以扎实的知识为基础.若没有深厚的功底,是不会迸发出思维的火花.所以对数学基本问题和基本方法的牢固掌握和应用是很重要的.所谓知识组块又称知识反应块.它们由数学中的定义、定理、公式、法则等组成,并集中地反映在一些基本问题,典型题型或方法模式.许多其他问题的解决往往可以归结成一个或几个基本问题,化为某类典型题型,或者运用某种方式模式.这些知识组块由于不一定以定理、性质、法则等形式出现,而是分布于例题或问题之中,因此不容易引起师生的特别重视,往往被淹没在题海之中,如何将它们筛选出来加以精练是数学中值得研究的一个重要课题.
在解数学题时,主体在明了题意并抓住题目条件或结论的特征之后,往往一个念头闪现就描绘出了解题的大致思路.这是尖子学生经常会碰到的事情,在他们大脑中贮存着比一般学生更多的知识组块和形象直感,因此快速反应的数学直觉就应运而生.
例：已知 ,求证：
分析 观察题目条件与结论的式结构后会闪现两个念头：（1）在a、b、c为任意值时,等式通常是不成立的,从而在a、b、c之间存在比题给条件更简单的关系；（2）作为特例考虑,显然三个数中有两个互为相反数时,条件与结论均成立,这意味着条件式子含有因式（a+b）或(b+c)或(c+a),由于轮换对称性,则必含有（a+b）(b+c) (c+a)于是数学直觉形成,只需化简条件至既定目标即可推得结论.这个直觉来源于过去的运算经验—知识组块,也来源于对题给的图式表象的象质转换直感.
2、强调数形结合,发展几何思维与类几何思维.
数学形象直感是数学直觉思维的源泉之一,而数学形象直感是一种几何直觉或空间观念的表现,对于几何问题要培养几何自身的变换、变形的直观感受能力.对于非几何问题则要用几何眼光去审视分析就能逐步过渡到类几何思维.
例2：若a＜b＜c,求函数y=|x－a|+|x－b|+|x－c|的最小值.
分析：数轴上两点间的距离公式AB=|xA－xB|,而数a、b、c在数轴上大致位置如图所示
a
b
c
求y=|x－a|+|x－b|+|x－c|的最小值.即在数轴上求点x,使它到a、b、c的距离之和最小.显然当x定在a、c之间,|x－a|+|x－c|最小.所以
当x=b时,y=|x－a|+|x－b|+|x－c|的值最小.
3、重视整体分析,提倡块状思维.
在解决数学问题时要教会学习从宏观上进行整体分析,抓住问题的框架结构和本质关系,从思维策略的角度确定解题的入手方向和思路.在整体分析的基础上进行大步骤思维,使学生在具有相应的知识基础和已达到一定熟练程度的情况下能变更和化归问题,分析和辨认组成问题的知识集成块,培养思维跳跃的能力.在练习中注意方法的探求,思路的寻找和类型的识别,养成简缩逻辑推理过程,迅速作出直觉判断的洞察能力.
例3 ：I为△ABC的内心,AI、BI、CI的延长线分别交△ABC的外接圆于D、E、F,求证：AD+BE+CF＞AB+BC+CA
D
E
F
B
A
C
I
分析：细心观察图形,寻求可运用的知识组块.有两个形象直感不难获得：（1）由内心性质知DI=DB=DC；（2）应运用三角形不等式的适当组合构成特征不等式,由此得到启发可将AD分成两段推证（BE、CF类同）,即DB+DC＞BC可以推出DI＞ BC及AI+IB＞AB.再得另外四个类似不等式后,将它们同向相加即可推至结论.
4、鼓励大胆猜测,养成善于猜想的数学思维习惯.
数学猜想是在数学证明之前构想数学命题思维过程.“数学事实首先是被猜想,然后才被证实.”猜想是一种合情推理,它与论证所用的逻辑推理相辅相成.对于未给出结论的数学问题,猜想的形成有利于解题思路的正确诱导；对于已有结论的问题,猜想也是寻求解题思维策略的重要手段.数学猜想是有一定规律的,并且要以数学知识的经验为支柱.但是培养敢于猜想、善于探索的思维习惯是形成数学直觉,发展数学思维,获得数学发现的基本素质.因此,在数学教学中,既要强调思维的严密性,结果的正确性,也不应忽视思维的探索性和发现性,即应重视数学直觉猜想的合理性和必要性.
例4：如图,正方形ABCD中,BC=2厘米,现有两点E、F,分别从点B、点A同时出发,点E沿线BA以1厘米/秒的速度向点A运动,点F沿折线A—D—C以2厘米/秒的速度向点C运动,设点E离开点B的时间为t（秒）（1≤t≤2）,EF与 AC相交于点P,问点E、F运动时,点P的位置是否发生变化?若发生变化,请说明理由；若不发生变化,请给予证明,并求AP∶PC的值.
猜想：点P的位置不变.分析：因为点E离开点B的时间为t（秒）,所以AE=(2－1t)厘米.因为点F离开点A的时间为t（秒）,速度为2厘米/秒,所以CF=(4－2t)厘米.则：
E
F
D
A
B
C
P
由于AE‖FC,因式AP∶PC=AE∶CF=1∶2,所以点P的位置不变.
数学直觉思维能力的培养是一个长期的过程.要作一名好的教师,就必须在数学教育的每一个角落渗透对学生的直觉思维的培养,让学生有敏捷的思维,灵活的解题思路和很强的对以往知识结构综合利用能力.这不仅有利于对学生的智力开发,更有利于对学生逻辑思维的培养.
主要参考文献
1、钱学森主编,关于思维科学.上海：上海人发出版社,1986
2、孔慧英,梅智超编著,现代数学思想概论.北京：中国科学技术出版社,1993
3、朱智贤、林崇德,思维发展心理.北京师范大学出版社,1990
4、郭思乐、喻伟著,数学思维教育论.上海：上海教育出版社,1997
5、席振伟著,数学的思维方式.南京：江苏教育出版社,1995