圆的内接四边形对角线的乘积等于对边乘积之和

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/25 10:29:46

圆的内接四边形对角线的乘积等于对边乘积之和
请证明

设四边形ABCD内接于⊙O,AC、BD分别是对角线.
在AC上取一点E连结BE,且使∠ABE＝∠DBC,易得△ABE∽△DBC
∴AE/AB=CD/BD,∴AE×BD＝AB×CD……（1）
又由△ABE∽△DBC得∠AEB＝∠BCD
而∠AEB＋∠BEC＝180°,∠BCD＋∠BAD＝180°
∴∠BEC＝∠BAD
又∵∠BCE＝∠BAD
∴△CEB∽△DAB∴CE/BC=AD/BD∴CE×BD＝BC×AD……（2）
（1）+（2）得AE×BD＋CE×BD＝AB×CD＋BC×AD
BD（AE+CE）＝AB×CD＋BC×AD
即BD×AC＝AB×CD＋BC×AD
说明：本题在分析时,首先想到,欲证式的左边是一个积,右边是两个积的和,需将左边变成两个积的和,所以把AC分成两条线段；结合图形,为获得相似三角形,就作∠ABE＝∠DBC使问题得证.

圆的内接四边形对角线的乘积等于对边乘积之和证明圆内接任意四边形对边乘积之和等于对角线的乘积证明；若凸四边形两对角线的乘积等于它的两组对边乘积之和,则此四边形内接与圆. 如图所示,圆内接四边形的对边的乘积之和等于对角线之积如何证明. 如何证明托勒密定理圆内接四边形对边的乘积和等于对角线的乘积圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积, 怎么证明：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积四边形面积等于对角线乘积的一半怎么证明矩阵的特征值之和等于主对角线元素之和,特征值的乘积等于主对角线元素乘积,为什么? 求证“一个圆内内接一个任意四边形ABCD,则该四边形对角线之积等于对边乘积之和（AC*BD=AB*CD+AD*BC）” 证明对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半如何推导对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半