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设a1,a2,a3是n维向量,a1+a2,a2+a3,a3+a1无线相关,证明a1.a2,a3也无线相关

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 03:28:50
设a1,a2,a3是n维向量,a1+a2,a2+a3,a3+a1无线相关,证明a1.a2,a3也无线相关
可以用反证法来做.
假设a1,a2,a3线性相关
则a3可以用a1和a2来表示
不妨设:a3=ma1+na2
则a2+a3=ma1+(n+1)a2
a1+a3=(m+1)a1+na2
然后尝试用(a1+a2)和(a1+a3)来表示(a2+a3)
设(a2+a3)=p(a1+a2)+q(a1+a3)
则 ma1+(n+1)a2=[p+(m+1)q]a1+(p+nq)a2
比较系数得:p+(m+1)q=m
p+nq=n+1
解得:p=(m+n+1)/(m-n+1)
q=(m-n-1)/(m-n+1)
∴(a2+a3)= (m+n+1)/(m-n+1)× (a1+a2) +[(m-n-1)/(m-n+1)] × (a1+a3)
说明(a1+a2)(a1+a3)(a2+a3)线性相关
所以,当(a1+a2)(a1+a3)(a2+a3)线性无关时,a1,a2,a3也必定线性无关
再问: 用(a2+a3)表示(a1+a2)和(a1+a3)不就表示他们是相关的了吗
再答: 我的思路是 :当a1,a2,a3线性相关时,必然能推出(a1+a2)(a1+a3)(a2+a3)线性相关, 所以当(a1+a2)(a1+a3)(a2+a3)线性无关时,a1,a2,a3也必定线性无关 就是原命题和它的逆否命题等价。原命题不好证明,就证明它的逆否命题。
再问: 但是题目中已经给出了已知是无关的哦,这样假设的话不就不成立了吗
再答: 对啊。本来就是反证法嘛。 先假设一个和结论相反的条件。然后推导出来的结果与已知条件矛盾。因此假设不成立,所以原来的结论是正确的。 如果还是不明白的话,可以去看一下有关反证法的知识。
再问: 但是题目中已经知道了a1+a2,a2+a3,a3+a1是无关的 你后面还能够假设他们是相关的吗 这个我不是很了解哦 之前没有见过有这样的哦 麻烦你再帮我解释解释哦
再答: 我假设的是a1,a2,a3线性相关啊 然后用a1,a2,a3线性相关这个条件推导出a1+a2,a2+a3,a3+a1线性相关,与题目矛盾。 所以a1,a2,a3线性相关的假设不成立,因此a1,a2,a3无关
再问: 但是你假设a2+a3=p(a1+a2)+q(a1a3)不就是说明他们相关吗?如果无关的话这个等式成立吗?(我看定义是这样理解的)
再答: 这个只是一种尝试啊。 如果线性相关,那么就能求出p和q的值;如果线性无关,p和q自然就不能求出来啦。 所以a1+a2,a2+a3,a3+a1是否线性相关,跟我的假设没有关系,只跟a1,a2,a3是否线性相关有关。 还有 这本来就是反证法,我很奇怪明明题目都涉及到n维向量了,为什么会不明白反证法。
再问: 好的,谢谢哈!
再答: 如果没问题了,能不能麻烦采纳一下^_^