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已知定义域为R的函数y=f(x),则下列命题:①若f(x-1)=f(1-x)恒成立,则函数y=f(x)的

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 16:48:12
已知定义域为R的函数y=f(x),则下列命题:①若f(x-1)=f(1-x)恒成立,则函数y=f(x)的
已知定义域为R的函数y=f(x),则下列命题:
①若f(x-1)=f(1-x)恒成立,则函数y=f(x)的图象关于直线x=1的对称;
②若f(x+1)+f(1-x)=0恒成立,则函数y=f(x)的图象关于(1,0)点对称;
③函数y=f(x-1)的图象与函数y=f(1-x)的图象关于y轴对称;
④函数y=-f(x-1)的图象与函数y=f(1-x)的图象关于原点对称;
⑤若f(1+x)+f(x-1)=0恒成立,则函数y=f(x)以4为周期.
其中真命题的有(  )
请对各个选项进行说明并解释来由,
证明命题
1、错.应该是关于y轴对称
2、对.因为[(x+1)+(1-x)]=1 且f(x+1)+f(1-x)=0 故关于(1,0)对称
3、错.应该是关于直线x=1对称
4、错.应该是关于(1,0)对称
5、对.f(1+x)+f(x-1)=0 得f(3+x)+f(x+1)=0 故f(3+x)=f(x-1) 即f(x)=f(x+4) 故周期为4
再问: 我不是想要知道答案,而是证明过程
再答: 1、错。因为(x-1+1-x)=0关于x=0即y轴对称 2、对。因为[(x+1)+(1-x)]=1 且f(x+1)+f(1-x)=0 故关于(1,0)对称 3、错。因为x1-1=1-x2 则(x1+x2)/2=1 故两者关于直线x=1对称 4、错。因为x1-1=1-x2 则(x1+x2)/2=1 且-f(x1-1)=f(x2-1) 得 [f(x1-1)+f(x2-1)]/2=0 故两者关于(1,0)对称 5、对。f(1+x)+f(x-1)=0 得f(3+x)+f(x+1)=0 故f(3+x)=f(x-1) 即f(x)=f(x+4) 故周期为4