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选修4--4;坐标系与参数方程 已知动点P,Q都在曲线C:x=2cosβ y=2sinβ (β为参数)上,对应参数分别

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 21:05:14
选修4--4;坐标系与参数方程 已知动点P,Q都在曲线C:x=2cosβ y=2sinβ (β为参数)上,对应参数分别
选修4--4;坐标系与参数方程
已知动点P,Q都在曲线C:
x=2cosβ
y=2sinβ
(β为参数)上,对应参数分别为β=α与β=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.
(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程
(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为a的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.
⑴由题意可知P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α)
中点坐标公式可知:M(cosα+cos2α,sinα+sin2α)
∴M的轨迹的参数方程为x=cosα+cos2α,y=sinα+sin2α(α为参数,0<α<2π)
⑵M点到坐标原点的距离为
d=√x∧2+y∧2=
√(cosα+cos2α)^2+(sinα+sin2α)^2
=√2+2(cosαcos2α+sinαsin2α)
=√2+2cosα(0<α<2π)
当α=π时,d=0
∴M的轨迹过原点