作业帮抽象代数:如何在整数环上构造一个群/半群?
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/19 23:43:34
抽象代数:如何在整数环上构造一个群/半群?
构造什么样的代数运算或者条件呢?
(对于群和环的关系还是没有完全理解.)
构造什么样的代数运算或者条件呢?
(对于群和环的关系还是没有完全理解.)
整环不妨表示为(Ζ,+,*),下面简记为Ζ
不妨任取n∈Ζ+(正整数)
nΖ=={n*i | i∈Ζ},表示以n为生成元的循环群
在整环Ζ上定义关系～：j iff i-j∈nΖ(即i≡j(mod n))
容易验证～是一个Ζ上的等价关系,所以有Ζ关于～的等价类Ζ/～;
容易得到Ζ/～= {[i] | i=0,1,...,n-1},其中[i]={j∈Ζ | i}；
下面定义Ζ/～上面的乘法·:
任取[i],[j]∈Ζ/～,[i]·[j]=[i+j]
容易验证Ζ/～有单位元[1],任意元素[i]逆元为[-i],封闭性易得.
所以Ζ/～关于·做成一个群(Ζ/～,·)
这就是在整环(Ζ,+,*)上面构造出来一个群(Ζ/～,·),或者说由环(Ζ,+,*)“诱导”出来的一个群.
如果在Ζ/～上定义⊙：[i]⊙[j] = [i*j],那么容易得到(Ζ/～,⊙)是一个(含幺)半群而不是群,因为不是所有的元素都有逆元.
你自己还可以考虑其它的建构情况,感觉还有不少~
【附】概述群和环的关系,一个是定义了一种运算的集合,一个是定义了两种运算的集合(在第一种的基础上补充定义了一个新的运算),仅此而已.关于群和环上面定义的运算具体要满足的条件,不妨自己看书,自己总结.
不妨任取n∈Ζ+(正整数)
nΖ=={n*i | i∈Ζ},表示以n为生成元的循环群
在整环Ζ上定义关系～：j iff i-j∈nΖ(即i≡j(mod n))
容易验证～是一个Ζ上的等价关系,所以有Ζ关于～的等价类Ζ/～;
容易得到Ζ/～= {[i] | i=0,1,...,n-1},其中[i]={j∈Ζ | i}；
下面定义Ζ/～上面的乘法·:
任取[i],[j]∈Ζ/～,[i]·[j]=[i+j]
容易验证Ζ/～有单位元[1],任意元素[i]逆元为[-i],封闭性易得.
所以Ζ/～关于·做成一个群(Ζ/～,·)
这就是在整环(Ζ,+,*)上面构造出来一个群(Ζ/～,·),或者说由环(Ζ,+,*)“诱导”出来的一个群.
如果在Ζ/～上定义⊙：[i]⊙[j] = [i*j],那么容易得到(Ζ/～,⊙)是一个(含幺)半群而不是群,因为不是所有的元素都有逆元.
你自己还可以考虑其它的建构情况,感觉还有不少~
【附】概述群和环的关系,一个是定义了一种运算的集合,一个是定义了两种运算的集合(在第一种的基础上补充定义了一个新的运算),仅此而已.关于群和环上面定义的运算具体要满足的条件,不妨自己看书,自己总结.