七年级的奥林匹克数学竞赛题

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/26 03:59:14

七年级的奥林匹克数学竞赛题
1.设a,b是自然数,且满足关系式(11111+a)*(11111-b)=123456789
求证：a-b是4的倍数．
2.甲乙两邮递员分别从A,B两地同时以匀速相向而行,两人相遇时,甲比乙多走了18千米,相遇后甲走4.5小时到达B地,乙走8小时到达A地,求A,B两地间的距离.

1、
首先观察结果123456789,我们知道这是个奇数,而想使两个数乘积是奇数,那么这两个数必须都是奇数,
(11111+a)、(11111-b)都是奇数-----结论（1）
因此我们还可继续推出a、b都是偶数----结论（2）
我们对等式进行适当的转化,如下：
(11111+a)*(11111-b)=123456789
[(11111+b)+(a-b)]*(11111-b)=123456789
(11111+b)*(11111-b)+(a-b)*(11111-b)=123456789
(a-b)*(11111-b)=2428+b*b
b是偶数,因此b*b就是4的倍数,2428也是4的倍数===>
(2428+b*b)是4的倍数,
又因为(11111-b)是奇数====>（a-b）是4的倍数
2、设相遇点离B地x千米,那么甲、乙速度比=（x+18）:x
甲、乙剩下路程比=x:(x+18)
那么时间比=x:(x+18)/[(x+18):x]=4.5:8
x*x/[(x+18)*(x+18)]=9:16
[x/(x+18)]^2=(3:4)^2
x/x+18=3:4
所以x=54.
A、B距离=x+x+18=2x+18=2*54+18=126(千米)
因此A、B两地距离为126千米.

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