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如图34题 函数

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/16 04:53:05

解题思路: 用函数的性质解题
解题过程:
(1)解析:∵函数f(x)=x^2+3x|x-a|,当a=1/3时,方程f(x)=b恰有三个根
设g(x)=4x^2-x-b (x>=1/3)
令g’(x)=8x-1=0==>x=1/8==>g(x)在x=1/8处取极小值
∵1/8<1/3,∴g(x)在[1/3,+∞)上单调增;
g(x)=-2x^2+x-b (x<1/3)
令g’(x)=-4x+1=0==>x=1/4==>g(x)在x=1/4处取极大值
∵1/4<1/3,∴g(x)在(-∞,1/4)上单调增;g(x)在[1/4,1/3)上单调减;
要使方程f(x)=b恰有三个根,
只须g(1/4)=-2(1/4)^2+(1/4)-b=1/8-b>0==>b<1/8
g(1/3)=-2(1/3)^2+(1/3)-b=1/9-b<0==>b>1/9
即1/9<b<1/8
(2)解析:∵g(x)=-2x^2+x (x<1/3)
若存在区间[m,n],使得函数的定义域与值域均为[m,n]
g(x)=-2x^2+x=x==>-2x^2=0
显然在(-∞,1/3)上不存在这样的区间
g(x)=4x^2-x (x>=1/3)
若存在区间[m,n],使得函数的定义域与值域均为[m,n]
g(x)=4x^2-x=x==>4x^2-2x=0==>x1=0,x2=1/2
∵x1<1/3<1/2
当x∈[1/3,1/2]时,g(x)值域为[0,1/2]
当x∈[0,1/3]时,g(1/4)=1/8,g(1/3)=1/9,∴g(x)值域为[0,1/8]
∴当x∈[0,1/2]时,g(x)值域为[0,1/2]
∴存在区间[0,1/2],使得函数的定义域与值域均为[0,1/2]
(3)解析:∵函数f(x)=x^2+3x|x-a|,(a>0)在区间(m,n)上既有最大值又有最小值
g(x)=-2x^2+3ax (x<a)
=-2(x-3a/4)^2+9a^2/8
令g(a)=-2a^2+3a^2=a^2
g(x)=4x^2-3ax (x>=a)
令g(a)=4a^2-3a^2=a^2
当a>0时,显然9a^2/8>a^2
令-2x^2+3ax=a^2
解得x1=a/2,x2=a
令4x^2-3ax=9/8a^2
则a<n<=3(1+√3)a/8
∴只要a/2<=m<3a/4,且a<n<=3(1+√3)a/8时,函数f(x)在区间(m,n)上既有最大值又有最小值
最终答案:略